【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.3　圆的方程

§8.3圆的方程考试要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心C－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在圆内．微思考1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.2．写出圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴都相切的条件．提示D2＋E2－4F0，D2＝E2＝4F.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.(√)(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.4．(2021·石家庄模拟)圆心在直线x－2y＋7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)，B(－4,0)，则圆C的方程为________．答案(x＋3)2＋(y－2)2＝5解析因为直线AB的中垂线方程为x＝－3，代入直线x－2y＋7＝0，得y＝2，故圆心的坐标为C(－3,2)，再由两点间的距离公式求得半径r＝|AC|＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.题组三易错自纠5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a－2B．－23a0C．－2a0D．－2a23答案D解析由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，即3a2＋4a－40，∴－2a23.6．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0()A．关于点(2,0)对称B．关于直线y＝0对称C．关于直线x＋3y－2＝0对称D．关于直线x－y＋2＝0对称答案ABC解析x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确．故选ABC.题型一圆的方程1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝2516D.x－342＋y2＝254答案C解析方法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则由题意得1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，1－E＋F＝0，解得D＝－32，E＝0，F＝－1.所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即x－342＋y2＝2516.方法二(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心又在x轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－342＋0－02＝54，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.2．(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝16答案B解析由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝－1－02＋2－12＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.3．(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－3y＋23＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为________．答案x＋322＋y－322＝1解析由l：x－3y＋23＝0与C：x2＋y2＝4联立得(3y－23)2＋y2＝4，得y＝1或y＝2，则两交点坐标为A(－3，1)，B(0,2)，当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，则圆心－32，32，半径为|AB|2＝1，圆M的标准方程为x＋322＋y－322＝1.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．题型二与圆有关的最值问题例1(1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案25解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝5的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得m＝－4，n＝－2，故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值．解x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．跟踪训练1已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22.又|QC|＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.题型三与圆有关的轨迹方程例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，∴x＝x0＋82，y＝y0＋62，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x20＋y20＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆．课时精练1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(4，－6)，16B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4D．(2，－3)，16答案C解析方法一易知D＝4，E＝－6，F＝－3，则－D2＝－2，－E2＝3，12D2＋E2－4F＝4，故圆心坐标为(－2,3)，半径为4.方法二将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆心在x轴上，半径为1，且