【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2drd＝rdr代数法：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ0Δ＝0Δ02．圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ0⇒内含或外离.微思考1．过一点圆的切线有几条？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．3．当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？提示两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(√)(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)题组二教材改编2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B3．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案104．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．答案内切题组三易错自纠5．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0m1B．－1m0C．m1D．－3m1答案AB解析联立直线与圆的方程得x－y＋m＝0，x2＋y2－2x－1＝0，消去y，得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋160，得－3m1.∵{m|0m1}{m|－3m1}，{m|－1m0}{m|－3m1}，∴0m1和－1m0都是直线与圆相交的充分不必要条件．6．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为2，∵|OA|＝3－12＋5－22＝132，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.题型一直线与圆的位置关系例1(1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有()A．直线l恒过定点(3,1)B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C恒相交D．直线l与圆C相离答案AC解析将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由x＋y－4＝0，2x＋y－7＝0，解得x＝3，y＝1.则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确．(2)若圆x2＋y2＝r2(r0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞)B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1)D．(0，2＋1)答案A解析计算得圆心到直线l的距离为22＝21，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．跟踪训练1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21.所以直线与圆相交．(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l：xcosα＋ysinα＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r0)相交，则r的取值范围是()A．0r≤1B．0r1C．r≥1D．r1答案D解析圆心到直线的距离d＝1cos2α＋sin2α＝1，故r1.题型二圆的切线、弦长问题命题点1切线问题例2(1)(2021·银川模拟)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝6B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6D．4x＋3y＝－6答案B解析设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2，即|4＋m|5＝2，所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确．(2)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－25解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝－2－02＋－1＋22＝5.方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－－2×2＝－1，所以m＝－2，r＝－2－02＋－1＋22＝5.命题点2弦长问题例3(1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是()A．圆M的圆心为(4，－3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．过原点的最短弦长为8D．圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确．ABD均正确．(2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－8＝0解析当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标分别为(0，3)，(0，－3)，所以弦长|AB|＝23，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD|＝12|AB|＝3，故|CD|＝|AC|2－|AD|2＝4－3＝1，即|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.思维升华(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练2(1)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，2)，则弦长为()A．2B．3C．4D．5答案A解析将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，2)，所以|CD|＝1＋2＝3，所以|AB|＝24－3＝2.(2)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为()A.19B．25C.21D.555答案A解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d2－r2＝19.(3)过点(2,0)引直线l与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为________．答案±33解析由题意可得，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为d＝1，由点到直线的距离公式得d＝|－2k|1＋k2＝1⇒k＝±33.题型三圆与圆的位置关系例4已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练3(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离答案B解析由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.答案±2解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝6a－a.∵公共弦长为23，∴a2＝(3)2＋6a－a2，∴a2＝4，a＝±2.公元前3世纪，古希腊数学