【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.6　双曲线

§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(02a|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2.(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．已知双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？提示可设方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(2)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.(√)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(4)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1.(√)题组二教材改编2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.3．(2021·阜阳模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1()a0，b0的一条渐近线经过点()2，6，则该双曲线的离心率为()A．2B.2C．3D.3答案A解析双曲线x2a2－y2b2＝1()a0，b0的一条渐近线为y＝bax过第一象限，所以点()2，6在渐近线y＝bax上，可得6＝2×ba，所以ba＝3，所以e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝1＋3＝2.4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x215－y215＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为x215－y215＝1.题组三易错自纠5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A．若C为椭圆，则1t3B．若C为双曲线，则t3或t1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t2答案AD解析若t3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2t3，则03－tt－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1t2，则0t－13－t，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，则方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.6．(2020·哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线x29－y216＝1上一点P到焦点F1(－5,0)的距离为7，则点P到焦点F2(5,0)的距离为________．答案13解析在双曲线x29－y216＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2021·滨州质检)x2＋y－32－x2＋y＋32＝4表示的曲线方程为()A.x24－y25＝1(x≤－2)B.x24－y25＝1(x≥2)C.y24－x25＝1(y≤－2)D.y24－x25＝1(y≥2)答案C解析x2＋y－32的几何意义为点M(x，y)到点F1(0,3)的距离，x2＋y＋32的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则x2＋y－32－x2＋y＋32＝4表示点M(x，y)到点F1(0,3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则x2＋y－32－x2＋y＋32＝4表示的曲线方程为y24－x25＝1(y≤－2)，故选C.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴12△FPFS＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积为________．答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴12△FPFS＝12|PF1|·|PF2|＝2.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1(1)(2020·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线x2－y24＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是_____．答案24解析由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．答案x2－y28＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．题型二双曲线的标准方程1．(多选)已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.y24－x22＝1答案AB解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，又2a＝4，∴a2＝4，当m0时，2m＝4，m＝2；当m0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.2．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(ab0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1答案A解析因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且4－a2＋b2＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x24－y212＝1.3．已知双曲线E与双曲线x24－y29＝1共渐近线且经过点P(2,35)，则双曲线E的标准方程为________，顶点坐标为________．答案y236－x216＝1(0,6)，(0，－6)解析根据题意，设所求双曲线的方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，又由双曲线经过点P(2,35)，得44－459＝λ，即λ＝－4，所以双曲线的方程为x24－y29＝－4，其标准方程为y236－x216＝1，顶点坐标为(0,6)，(0，－6)．4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________．答案x2－y2＝1解析∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c.∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝4c2＋2c－a2－2c＋a24c2c－a＝c－2a2c－a，又点P(2，3)在双曲线上，∴sin∠PF2F1＝32c－a，∴c－2a2c－a2＋32c－a2＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，又4a2－3b2＝1，∴a2＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线和离心率例2(1)(2020·广州模拟)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.3x±y＝0B．2x±7y＝0C.3x±2y＝0D．2x±3y＝0答案C解析∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，即12＝3a2＋a2－4c22×3a×a，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴b