【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.7　抛物线

§8.7抛物线考试要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1微思考1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？提示若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？提示抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为x0＋p2；抛物线的焦点弦的最小值是2p(通径的长度)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(×)题组二教材改编2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．答案2解析设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±26.故满足条件的点的个数为2.4．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．答案72解析设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝x－22＋y2＝x－22＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.题组三易错自纠5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝92xB．x2＝43yC．y2＝－92xD．x2＝－43y答案BC解析设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义和标准方程1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()A．2B．3C．6D．9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.2．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－4B．x＝－3C．x＝－2D．x＝－1答案A解析直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.4．(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝2|PF|，则y0＝________，p＝________.答案24解析作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝2|PF|，∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝|PM||PK|＝|PF||PK|＝22，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p0)上，∴py0＝8，y0＋p2＝4，解得p＝4，y0＝2.思维升华(1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的距离为p.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．题型二抛物线的几何性质及应用命题点1焦半径和焦点弦例1(1)已知抛物线y2＝2px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．9C．10D．18答案C解析抛物线y2＝2px的焦点为p2，0，准线方程为x＝－p2.由题意可得4＋p2＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案D解析由已知得焦点坐标为F34，0，因此直线AB的方程为y＝33x－34，即4x－43y－3＝0.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－123y－9＝0，Δ0显然成立，则yA＋yB＝33，yAyB＝－94，故|yA－yB|＝yA＋yB2－4yAyB＝6.因此S△OAB＝12|OF||yA－yB|＝12×34×6＝94.方法二联立直线方程与抛物线方程得x2－212x＋916＝0，Δ0显然成立，故xA＋xB＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝|－3|42＋－432＝38，因此S△OAB＝12|AB|·d＝94.命题点2与抛物线有关的最值问题例2(1)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．答案2解析由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝5.思维升华(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．跟踪训练1(1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C．1D．2答案D解析由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A．2B.135C.145D．3答案A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.题型三直线与抛物线例3(2021·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12x32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解(1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32k2＋1.因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－k－1k＋12k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.思维升华(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练2(1)(2020·济南期末)直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1B．0C．1D．2答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝12x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则