【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 强化训练10　圆锥曲线中的综合问题

强化训练10圆锥曲线中的综合问题1．(2021·山西大学附属中学模拟)椭圆x216＋y225＝1的长轴长为()A．4B．5C．10D．8答案C解析由题意知，椭圆x216＋y225＝1，即a2＝25，所以其长轴长为2a＝10.2．(2021·重庆一中模拟)若椭圆C：x28＋y24＝1的右焦点为F，过左焦点F′作倾斜角为60°的直线交椭圆C于P，Q两点，则△PQF的周长为()A．62B．82C．6D．8答案B解析由椭圆方程可知a2＝8⇒a＝22，根据椭圆的定义可知|PF|＋|PF′|＝2a，|QF|＋|QF′|＝2a，△PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF′|＋|QF′|＋|PF|＋|QF|＝4a＝82.3．(2020·怀化质检)“m1”是“曲线x23－m＋y2m－1＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由曲线x23－m＋y2m－1＝1表示椭圆，得3－m0，m－10，3－m≠m－1，解得m∈(1,2)∪(2,3)，由于(1,2)∪(2,3)⊆(1，＋∞)，所以“m1”是“曲线x23－m＋y2m－1＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．已知点A(0，－5)，B(2,0)，点P为函数y＝21＋x2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．1＋25B．7C．3D．不存在答案B解析由y＝21＋x2，得y24－x2＝1(y0)．设点A′(0，5)，即点A′(0，5)，A(0，－5)为双曲线y24－x2＝1的上、下焦点．由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7.5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A．椭圆C的方程为y23＋x2＝1B．椭圆C的方程为x23＋y2＝1C．|PQ|＝233D．△PF2Q的周长为43答案ACD解析由已知得，2b＝2，b＝1，ca＝63，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋y23＝1.如图．∴|PQ|＝2b2a＝23＝233，△PF2Q的周长为4a＝43.故选ACD.6．(多选)已知双曲线C过点(3，2)且渐近线为y＝±33x，则下列结论正确的是()A．C的方程为x23－y2＝1B．C的离心率为3C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－2y－1＝0与C有两个公共点答案AC解析因为渐近线方程为y＝±33x，所以可设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x23－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为233，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝2y＋1代入双曲线方程，得y2－22y＋2＝0，解得y＝2，故直线x－2y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．7．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1，且圆E：(x－2)2＋y2＝1的圆心是双曲线C的右焦点．若圆E与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为________．答案x23－y2＝1解析∵c＝2⇒a2＋b2＝4.①取渐近线方程为bx－ay＝0，又|2b|a2＋b2＝1⇒a2＝3b2.②由①②可得a2＝3，b2＝1，∴双曲线C的方程为x23－y2＝1.8．(2021·重庆一中模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，若直线AF的斜率为－3，则|PF|＝________.答案4解析∵抛物线方程为y2＝4x，∴焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，∵直线AF的斜率为－3，∴直线AF的方程为y＝－3(x－1)，当x＝－1时，y＝23，可得A点坐标为(－1,23)．∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为23，代入抛物线方程，得P点坐标为(3,23)，∴|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．答案2解析设F(－c,0)关于直线y＝bax的对称点为P(x0，y0)，则y02＝x0－c2·ba，y0＝－bax0，解得x0＝c2，y0＝－bc2a，所以Pc2，－bc2a，因为直线PF与直线y＝bax互相垂直，则bc2a－c－c2·ba＝－1，即b2＝3a2，又b2＝c2－a2，所以c2＝4a2，解得e＝2.10．(2021·福州第一中学模拟)已知F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，点A在椭圆E上，且∠F1AF2＝120°，|AF1|＝2|AF2|，则椭圆离心率是________．答案73解析因为点A在椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，所以|AF1|＝43a，|AF2|＝23a，因为|F1F2|＝2c，又在△AF1F2中，∠F1AF2＝120°，所以根据余弦定理可得cos∠F1AF2＝|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|22|AF1||AF2|＝169a2＋49a2－4c2169a2＝54－94e2＝－12，解得e＝73(负值舍去)．11.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．(1)证明设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y＋y022＝4·14y2＋x02，即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．(2)解由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22y20－4x0.所以△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.因为x20＋y204＝1(－1≤x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是62，15104.12．已知椭圆L：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆L的标准方程；(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程及|AB|的大小．解(1)由e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝34，得a2＝4b2，又短轴长为2，可得b＝1，a2＝4，∴椭圆L的标准方程为x24＋y2＝1.(2)易知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋2，则联立y＝kx＋2，x2＋4y2－4＝0，消元得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝16×16k2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)0，即k234.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－16k4k2＋1，x1·x2＝124k2＋1，由题意可知OA→⊥OB→，即OA→·OB→＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝(1＋k2)x1·x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，∴121＋k21＋4k2－32k21＋4k2＋4＝0，解得k2＝434，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·44k2－31＋4k2＝46517.综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0，|AB|＝46517.13．焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在△EFP中，sin∠EFP＝2sin∠FEP，则|EP|的值是()A．22B．4C．2D．1答案A解析如图所示，过点P作PH垂直于准线于点H，设|PE|＝m，则|PF|＝|PH|＝mcos∠FEP，在△EFP中，由正弦定理知|PF|sin∠PEF＝|PE|sin∠EFP，即mcos∠FEPsin∠FEP＝m2sin∠FEP，所以cos∠FEP＝22，又∠FEP∈(0，π)，所以∠FEP＝π4，则sin∠EFP＝2sin∠FEP＝1，又∠EFP∈(0，π)，所以∠EFP＝π2，在Rt△EFP中，|EF|＝2，∠FEP＝π4，所以|PE|＝22.14．(2020·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为()A.7112＋26B．9＋10C.8312＋26D．9＋26答案D解析抛物线方程中，令y＝1可得x＝14，即A14，1，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得xAxB＝1，∴xB＝1xA＝4，且|AB|＝xA＋xB＋p＝254，将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，故|MB|＝4－32＋－4－12＝26，故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝3－14＋254＋26＝9＋26.15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的动直线l交抛物线C于A，B两点，其中B在x轴上方，P，Q分别为圆(x－1)2＋y2＝1上的两个动点，当4|AP|＋|BQ|最小时，直线l的斜率为________．答案22解析设直线l：y＝k(x－1)(k0)，当4|AP|＋|BQ|最小时，即|AP|，|BQ|分别取最小值，则|AP|min＝|AF|－1，|BQ|min＝|BF|－1，所以(4|AP|＋|BQ|)min＝4|AF|＋|BF|－5，联立y＝kx－1，y2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，由抛物线的定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故1|AF|＋1|BF|＝1x1＋1＋1x2＋1＝x1＋x2＋2x1＋1x2＋1＝x1＋x2＋2x1x2＋x1＋x2＋1＝x1＋x2＋2x1＋x2＋2＝1，得4|AF|＋|BF|－5＝(4|AF|＋|BF|)·1|AF|＋1|BF|－5≥4，当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号，此时|AF|＝32，|BF|＝3，则x1＝12，x2＝2，则x1＋x2＝2k2＋4k2＝52，解得斜率k＝22(舍负)．16．顺次连接椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的四个顶点，恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形．(1)求椭圆C的方程；(2)设M(－3,0)，过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式MA→·MB→≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．解(1)由已知得12×2a×2b＝22，a2＋b2＝3，又ab0，所以a＝2，b＝1,所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，MA→·MB→＝(x1＋3，y1)·(x2＋3，y2)＝(x1＋3)(x2＋3)＋y1y2，当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝1，y1＝－y2，且y21＝12，此时MA→＝(4，y1)，MB→＝(4，y2)，∴MA→·MB→＝312；当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x－1)，由y＝kx－1，x2＋2y2＝2，得(1＋