【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 强化训练9　直线与圆中的综合问题

强化训练9直线与圆中的综合问题1．(2020·潜山模拟)过点A(－3，2)与点B(－2，3)的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．60°答案A解析kAB＝3－2－2－－3＝3－23－2＝1，故直线的倾斜角为45°.2．若直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k等于()A．k＝－1或k＝3B．k＝±1或k＝3C．k＝－1D．k＝1或k＝3答案A解析当直线l经过原点时，可得斜率k＝3.当直线l不经过原点时，∵直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，∴直线l经过点(a,0)，(0，a)(a≠0)．∴k＝－1.综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.3．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和3x－y－6＝0均相切，则该圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－3)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋3)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝1答案D解析由题意，可设圆心坐标为(a，－1)，r＝1.则d＝|3a＋1－6|32＋－12＝1，即|3a－5|＝2，解得a＝3或733.结合选项可得，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.4．(2020·重庆期中)已知圆O：x2＋y2＝9上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点有3个，则a等于()A．±22B．±2C．±2D．±1答案A解析由题意，圆O：x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，因为圆O上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点有3个，所以点(0,0)到直线l的距离d＝|a|1＋1＝2，所以a＝±22.5．直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，32]B．[22，42]C．[4,8]D．[8,16]答案D解析由题意，得圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为点(1,1)，半径为2，∴圆心到直线x＋y＋4＝0的距离为|1＋1＋4|2＝32，∴点P到直线距离的取值范围为[32－2，32＋2]即[22，42]，∵A，B两点是直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴的交点，∴A(－4,0)，B(0，－4)，|AB|＝42，∴(S△ABP)min＝12×42×22＝8，(S△ABP)max＝12×42×42＝16.6．(多选)(2020·上海进才中学模拟)两内切圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于()A．1B．2C．4D．5答案AD解析设方程的两根为x1，x2，由x2＋px＋q＝0，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q.有一圆半径为3，不妨设x2＝3，因为两圆内切，所以|x1－3|＝1，所以x1＝4或x1＝2.当x1＝4时，p＝－7，q＝12，p＋q＝5；当x1＝2时，p＝－5，q＝6，p＋q＝1.7．以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是________________．答案12x＋2y＋19＝0解析因为A(1,3)，B(－5,2)，所以线段AB的中点坐标为－2，52，直线AB的斜率为2－3－5－1＝16，所以线段AB的垂直平分线的斜率为－6，所以以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是y－52＝－6(x＋2)，即12x＋2y＋19＝0.8．(2020·北京汇文中学模拟)已知直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行，则实数a＝_____.答案1或－1解析当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，由直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行可得直线斜率相等，即1a＝a⇒a＝±1.9．若过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，则实数k的取值范围是________________．答案(－1,1)∪(4，＋∞)解析由题意，得圆的一般方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0，可化为(x－k)2＋(y－1)2＝k＋1，∵方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0表示圆，∴k＋10，解得k－1，又∵过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，∴点P(2,2)在圆外，可得(2－k)2＋(2－1)2k＋1，解得k1或k4，综上所述，可得k的取值范围是(－1,1)∪(4，＋∞)．10．已知圆O：x2＋y2＝1，圆N：(x－a＋2)2＋(y－a)2＝1.若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是________．答案1－142，1＋142解析已知有|QO|＝2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2＋y2＝4，问题转化为圆N和圆T有公共点，则1≤a2＋a－22≤3，故1－142≤a≤1＋142.11．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)两点，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆M的标准方程；(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆N的一般方程．解(1)由点A(2，－3)和点B(－2，－5)可得AB的中点C(0，－4)，kAB＝－5＋3－2－2＝12，线段AB的中垂线方程为y＋4＝－2(x－0)，即2x＋y＋4＝0，∴由2x＋y＋4＝0，x－2y－3＝0得x＝－1，y＝－2，即所求圆的圆心M(－1，－2)，∴半径r＝－2＋32＋－1－22＝10，∴圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)设圆N的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵圆N过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)，∴1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，解得D＝－2，E＝2，F＝－3，∴圆N的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.12．(2021·洪洞新英学校模拟)已知点M(3,1)，圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)若直线ax－y＋4＝0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值；(2)求过点M的圆O1的切线方程．解(1)根据题意，圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(1,2)，半径r＝2，若弦AB的长为23，则圆心到直线ax－y＋4＝0的距离d＝22－32＝1，又由圆心为(1,2)，直线ax－y＋4＝0，则有d＝|a＋2|a2＋1＝1，解得a＝－34.(2)根据题意，分两种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件；当切线斜率存在时，设其方程为y－1＝k(x－3)，圆心到切线的距离d＝|2k＋1|k2＋1＝2，解得k＝34，切线方程为3x－4y－5＝0，所以过点M的圆O1的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.13．(2020·哈尔滨模拟)已知点P(3，a)，若圆O：x2＋y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是()A．(－33，33)B．[－33，33]C．(－∞，－33)∪(33，＋∞)D．(－∞，－33]∪[33，＋∞)答案B解析设A(x0，y0)，PA的中点M(x，y)，由已知有x20＋y20＝4，x＝x0＋32，y＝y0＋a2，解得x－322＋y－a22＝1，即PA的中点的轨迹为圆x－322＋y－a22＝1，又线段PA的中点也在圆O上，∴两圆有公共点，∴1≤322＋a22≤3，解得－33≤a≤33.14．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16，过点P(－2,3)的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝211，则l的方程为________________．答案x－2y＋8＝0解析由题意，得圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16的圆心为(－1,1)，半径为r＝4，又由题意可知，|AB|为弦长，所以圆心到直线l的距离为d＝r2－|AB|22＝16－11＝5，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，所以d＝|－k－1＋2k＋3|k2＋1＝5，即d＝|k＋2|k2＋1＝5，整理得4k2－4k＋1＝0，解得k＝12.故直线l的方程为x－2y＋8＝0.当直线l的斜率不存在时，不符合题意．15．(2021·四川石室中学模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是()A．[0,2－3)∪(2＋3，＋∞)B．[2－3，2＋3]C．(－∞，0)D．[0，＋∞)答案D解析由题意得，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，设P(x，y)，因为两条切线l1⊥l2，如图，PA⊥PB，由切线性质定理，知PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以四边形PACB为正方形，所以|PC|＝2，则(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝|2k－2|k2＋1≤2，解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞)．16.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直的小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)解建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，2)．(1)小路的长度为|OA|＋|OB|＋|AB|，因为OA，OB的长为定值，故只需要AB最小即可．作OM⊥AB于M(图略)，记|OM|＝d，则|AB|＝2|OA|2－|OM|2＝24－d2，又d≤|OD|＝2，故|AB|≥24－2＝22，此时点D为|AB|的中点．故小路的最短长度为(4＋22)百米．(2)显然，当广场所在的圆与△ABO内切时，面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r，则S△ABO＝12(|AB|＋|AO|＋|BO|)·r＝12|AB|·d，由弦长公式|AB|＝24－d2可得d2＝4－|AB|24，所以r2＝|AB|2·16－|AB|24|AB|＋42，设|AB|＝x，则r2＝f(x)＝x2·16－x24x＋42＝x2·4－x4x＋4，所以f′(x)＝－2x3－8x2＋32x4x＋42＝－2x·x2＋4x－164x＋42，又因为0d≤|OD|，即0d≤2，所以x＝|AB|＝24－d2∈[22，4)，所以f′(x)＝－2x·x2＋4x－164x＋420，所以f(x)max＝f(22)＝6－42，即△ABO的内切圆的面积最大值为(6－42)π.