【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第9章 §9.1　随机抽样、用样本估计总体

§9.1随机抽样、用样本估计总体考试要求1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样的方法.2.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．1．随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．用样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积的总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x＝x1＋x2＋…＋xnn，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].(5)方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．微思考1．三种抽样方法有什么共同点和联系？提示(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．2．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？提示平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(×)(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(×)(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)题组二教材改编2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33,34,33B．25,56,19C．20,40,30D．30,50,20答案B解析设在不到35岁的员工中抽取x人，则100500＝x125，所以x＝25，同理可得这三个年龄段抽取人数分别为25,56,19.3．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是()环数5678910人数127631A．7,7B．8,7.5C．7,7.5D．8,6答案C解析从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是7＋82＝7.5.4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有______人．答案25解析0.5×0.5×100＝25.题组三易错自纠5．已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是______，平均数是________．答案6567解析因为最高小长方形中点的横坐标为65，所以众数为65；平均数x＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.6．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为________．答案16,18解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋…＋xnn＝5，∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xnn＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.题型一抽样方法1．(2020·吉安模拟)总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为()附：第6行至第9行的随机数表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．33B．16C．38D．20答案D解析按随机数法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310答案A解析在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.故选A.3．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为24,16,8.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析根据分层抽样的特点可知，抽样比为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.思维升华(1)简单随机抽样是分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，由定义应抓住以下特点：①它要求总体个数较少；②它是从总体中逐个抽取的；③它是一种不放回的抽样.(2)分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.题型二统计图表及应用命题点1扇形图例1(2018·全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案A解析设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a37%×2a＝74%a增加A错其他收入4%a5%×2a＝10%a增加了一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.命题点2折线图例2下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量．现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数－累计死亡数－累计治愈数．则下列对新冠肺炎叙述错误的是()A．自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B．自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少答案D解析由图1可知A，B均正确；由图2数据计算得16日的现存确诊病例为84867－79926－4645＝296，同理可计算18,20,22,24日现存确诊分别为346,383,441,473.命题点3茎叶图例3如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x和y的值分别为()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7答案A解析甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均数相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.命题点4频率分布直方图例4(2020·天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为()A．10B．18C．20D．36答案B解析因为直径落在区间[5.43,5.47]内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.思维升华(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．(4)准确理解频率分布直方图的数据特点：①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．跟踪训练(1)由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是()A．样本容量为240B．若m＝50，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C．总体中对方式二满意的学生约为300人D．样本中对方式一满意的学生为24人答案B解析选项A，样本容量为6000×4%＝240，该选项正确；选项B，根据题意得自主学习的满意率为600＋300＋12506000≈0.3580.4，该选项错误；选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为1500×20%＝300，该选项正确；选项D，样本中对方式一满意人数为2000×4%×30%＝24，该选项正确．(2)(2021·贵阳模拟)某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是()A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳答案D解析由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11，共3个月，比6月份低的有1,2,3,4,5,7,8，共7个月，故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7