【新高考复习】专题05 平面解析几何——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析）

专题05平面解析几何1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆2260xyx，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圆2260xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP根据弦长公式得最小值为229||2982CP.故选：B．【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线【答案】A【解析】设20ABaa，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：,0,,0AaBa，设,Cxy，可得：,,,ACxayBCxay，从而：2ACBCxaxay，结合题意可得：21xaxay，整理可得：2221xya，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a为半径的圆.故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点(0)1，到直线1ykx距离的最大值为A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】由(1)ykx可知直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)ykx与AP垂直时，点A到直线(1)ykx距离最大，即为||2AP.故选：B．【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为A．55B．255C．355D．455【答案】B【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为222xayaa.由题意可得22221aaa，可得2650aa，解得1a或5a，所以圆心的坐标为1,1或5,5，圆心到直线距离均为121132555d；圆心到直线的距离均为225532555d圆心到直线230xy的距离均为22555d；所以，圆心到直线230xy的距离为255.故选：B．【点睛】本题考查圆心到直线距离计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：220ypxp交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为A．(14，0)B．(12，0)C．(1，0)D．(2，0)【答案】B【解析】因为直线2x与抛物线22(0)ypxp交于,ED两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx，所以2,2D，代入抛物线方程44p，求得1p，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设12,FF是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF，则1,2ac，因为121||1||2OPFF，的的所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF，即2212||||16PFPF，又12||||22PFPFa，所以2124||||PFPF2212||||2PFPF12||||162PFPF12||||PFPF，解得12||||6PFPF，所以12FFPS△121||||32PFPF故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：2222xyab=l(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】2222:1(0,0)xyCabab，双曲线的渐近线方程是byxa，直线xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限，联立xabyxa，解得xayb，故(,)Dab，联立xabyxa，解得xayb，故(,)Eab，||2EDb，ODE面积为：1282ODESabab△，双曲线2222:1(0,0)xyCabab，其焦距为2222222168cabab，当且仅当22ab取等号，C的焦距的最小值：8.故选：B．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．【2020年高考天津】设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为A．22144xyB．2214yxC．2214xyD．221xy【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为1yxb，即直线的斜率为b，又双曲线的渐近线的方程为byxa，所以bba，1bba，因为0,0ab，解得1,1ab．故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．9．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】设圆心,Cxy，则22341xy，化简得22341xy，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM22345，所以||514OC，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数234yx图象上的点，则|OP|=A．222B．4105C．7D．10【答案】D【解析】因为||||24PAPB，所以点P在以,AB为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1ca可得，222413bca，即双曲线的右支方程为22103yxx，而点P还在函数234yx的图象上，所以，由22210334yxxyx，解得132332xy，即13271044OP．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1Cmxny.A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n0，则C是圆，其半径为nC．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD．若m=0，n0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn，故C正确；对于D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线C:22221xyab(a0,b0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221xyab可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx，所以2ba，2213cbeaa.故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.14．【2020年高考天津】已知直线380xy和圆222(0)xyrr相交于,AB两点．若||6AB，则r的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心0,0到直线380xy的距离8413d，由22||2ABrd可得22624r，解得=5r．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．15．【2020年高考北京】已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】3,0；3【解析】在双曲线C中，6a，3b，则223cab，则双曲线C的右焦点坐标为3,0，双曲线C的渐近线方程为22yx，即20xy，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312.故答案为：3,0；3.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.16．【2020年高考浙江】已知直线(0)ykxbk与圆221xy和圆22(4)1xy均相切，则k_______，b=_______．【答案】33；233【解析】由题意，12,CC到直线的距离等于半径，即22||11bk，22|4|11kbk，所以||4bkb，所以0k(舍)或者2bk，解得323,33kb.故答案为：323;33【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.17．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线222105()xyaa的一条渐近线方程为52yx，则该双曲线的离心率是▲．【答案】32【解析】双曲线22215xya，故5b.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx，即522baa，所以22453cab，所以双曲线的离心率为32ca.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心