【新高考复习】专题11 坐标系与参数方程——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析

专题11坐标系与参数方程1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30．(1)当1k时，1C是什么曲线？(2)当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【解析】当k=1时，1cos,:sin,xtCyt消去参数t得221xy，故曲线1C是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k=4时，414cos,:sin,xtCyt消去参数t得1C的直角坐标方程为1xy．2C的直角坐标方程为41630xy．由1,41630xyxy解得1414xy．故1C与2C的公共点的直角坐标为11(,)44．【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy，(θ为参数)，C2：1,1xttytt(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．【解析】(1)1C的普通方程为4(04)xyx．由2C的参数方程得22212xtt，22212ytt，所以224xy．故2C的普通方程为224xy．(2)由224,4xyxy得5,23,2xy所以P的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x，由题意得220059()24xx，解得01710x．因此，所求圆的极坐标方程为17cos5．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2222xttytt，﹢(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.(1)求||AB；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【解析】(1)因为t≠1，由220tt得2t，所以C与y轴的交点为(0，12)；由2230tt得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)．故||410AB．(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为1412xy，将cossinxy，代入，得直线AB的极坐标方程3cossin120．【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点1π(,)3A在直线:cos2l上，点2π(,)6B在圆:4sinC上(其中0，02)．(1)求1，2的值；(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标．【解析】(1)由1cos23，得14；24sin26，又(0，0)(即(0，6))也在圆C上，因此22或0．(2)由cos2,4sin,得4sincos2，所以sin21．因为0，02，所以4，=22．所以公共点的极坐标为(22,)4．1．【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为42xtyt(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221cos.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的最小值.【答案】(1)42yx，2212yx；(2)45305.【解析】(1)直线l的普通方程为42yx曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为2212yx(2)曲线的参数方程为cos2sinxy设点Q的坐标为cos,2sin2cos2sin46sin4464530=5555PQ故PQ的最小值为45305.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.2．【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2sin＝cosa(a＞0)，过点(2,4)P的直线l的参数方程为222242xtyt＝－＋，＝－＋(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两点．(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(Ⅱ)若2||PAPBAB，求a的值．【答案】(Ⅰ)，2yx(Ⅱ)2．【解析】(Ⅰ)根据222cos,sinxyxy，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线l的普通方程为2yx．(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有1212,PAPBttABtt，因此将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)0tata,由韦达定理有12122(8),4(8)ttatta．解之得：2a或8a(舍去)试题解析：(Ⅰ)由2sincos(0)aa得22sincos(0)aa,∴曲线C的直角坐标方程为．直线l的普通方程为2yx．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)0tata,设AB、两点对应的参数分别为12,tt,则有12122(8),4(8)ttatta．∵2PAPBAB,∴21212()tttt,即21212()5tttt．∴22[2(8)]20(8),6160aaaa．解之得：2a或8a(舍去),∴a的值为2．3．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为21222xtyt(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin4．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点2,1P，直线l与曲线C的交点为A、B，求PAPBPBPA的值．【答案】(1)10xy；22220xyxy；(2)4【解析】(1)l的参数方程消去参数，易得l的普通方程为10xy，曲线C：22sin2cossin2，即22cossin，∴22220xyxy，所以曲线C的直角坐标方程为：22220xyxy.(2)l的参数方程22,221,2xtyt(t为参数)，设A对应参数为1t，B对应参数为2t，将l的参数方程与22220xyxy联立得：2210tt，得：122tt，121tt，所以2212122112PAPBttttPBPAtttt22121212221222411tttttt即4PAPBPBPA.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用直线参数方程中参数t的几何意义进行求解.4．【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossin1xy(为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)直线1l，2l的极坐标方程分别为6R，3R，直线1l与曲线C的交点为O、M，直线2l与曲线C的交点为O、N，求线段MN的长度．【答案】(1)2sin；(2)1．【解析】(1)由曲线C的参数方程为cossin1xy得曲线C的直角坐标方程为：2211xy，所以极坐标方程为2222cossin2sin0即2sin．(2)将6代入2sin中有1M，即1OM，将3代入2sin中有3N，即3ON，366MON，余弦定理得2222cos16MNOMONOMON，1MN．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.5．【2020·山西省太原五中高三其他】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1+cos1cos2sin1cosxy(为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0(0(0,π))，将曲线1C向左平移2个单位长度得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于,AB两点，求11OAOB的取值范围.【答案】(1)C的极坐标方程为22sin4cos80，普通方程为24(2)yx；(2)12(,]22【解析】(1)22222coscos1+cos221cos2sinsin22x，24sincos2cos2sin2221cos2sinsin22y2224cos24sin2yx，即曲线1C的普通方程为24yx，依题意得曲线C的普通方程为24(2)yx，令cosx，siny得曲线C的极坐标方程为22sin4cos80；(2)法一：将0代入曲线C的极坐标方程得2200sin4cos80，则012204cossin，12208sin，120，12,异号202221200121220121212204cos32()sinsin()4111111sin82sinOAOB，0(0,π)，0sin(0,1]，1112(,]22OAOB；法二:设直线l的参数方程为cossinxtyt(t为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线C的普通方程得22sin4cos80tt，则1224cossintt，1228sintt，120tt，12,tt异号2222121212212121224cos32()()4sinsin111111sin82sinttttttOAOBtttttt(0,π)，sin(0,1]，1112(,]22OAOB.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.6．【2020·山西省太原五中高三月考】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为93,xtyt(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为221613sin．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离．【答案】(1)221164xy．390xy．(2)最大距离为972．【解析】(1)由221613sin，得2223sin16