【新高考复习】专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解

专题06三角函数及解三角形1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6fxx在[−π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数fx可得：4cos096，又4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32.所以函数fx最小正周期为224332T故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,，且3cos28cos5，则sinA．53B．23的C．13D．59【答案】A【解析】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3或cos2(舍去)，又25(0,),sin1cos3.故选：A．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则A．cos2α0B．cos2α0C．sin2α0D．sin2α0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2kkkZ，所以34244,kkkZ此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20，故选：D．方法二：当6时，cos2cos03，选项B错误；当3时，2cos2cos03，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0，选项C错误，选项D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC，2224322433AB，可得29AB，即3AB，由22299161cos22339ABBCACBABBC，故1cos9B.故选：A．5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】2tantan74，tan12tan71tan，令tan,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t，即tan2.故选：D．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A．30303sintannnnB．30306sintannnnC．60603sintannnnD．60606sintannnn【答案】A【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A．【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A．πsin(3x）B．πsin(2)3xC．πcos(26x）D．5πcos(2)6x【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx.而5cos2cos(2)66xx故选：BC．【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】14【解析】ABAC，3AB，1AC，由勾股定理得222BCABAC，同理得6BD，6BFBD，在ACE△中，1AC，3AEAD，30CAE，由余弦定理得22232cos301321312CEACAEACAE，1CFCE，在BCF中，2BC，6BF，1CF，由余弦定理得2221461cos22124CFBCBFFCBCFBC.故答案为：14.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f(x)=1sinsinxx有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称．②f(x)的图像关于原点对称．③f(x)的图像关于直线x=2对称．④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f，152622f，则66ff，所以，函数fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx，所以，函数fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sincos22cossin2fxxxxx，11sincos22cossin2fxxxxx，则22fxfx，所以，函数fx的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x时，sin0x，则1sin02sinfxxx，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020年高考江苏】已知2sin()4=23，则sin2的值是▲．【答案】13【解析】22221sin()(cossin)(1sin2)4222Q121(1sin2)sin2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．【2020年高考北京】若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】2(2,2kkZ均可)【解析】因为22cossinsin1coscossin1sinfxxxx，所以22cossin12，解得sin1，故可取2.故答案为：2(2,2kkZ均可).【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12．【2020年高考浙江】已知tan2，则cos2_______，πtan()4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cossin1tan123cos2cossincossin1tan125，tan1211tan()41tan123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4yx﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2()]3sin(2)6412yxx72()()122242kxkkZxkZ当1k时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542【解析】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF，所以5NF，因为5AP,所以45AGP，因为//BHDG，所以45AHO，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCDQ，所以3252212522rr，解得22r；等腰直角OAH△的面积为11222242S；扇形AOB的面积221322324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15．【2020年高考全国II卷理数】ABC△中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求ABC△周长的最大值．【解析】(1)由正弦定理和已知条件得222BCACABACAB，①由余弦定理得2222cosBCACABACABA，②由①，②得1cos2A.因为0πA，所以2π3A.(2)由正弦定理及(1)得23sinsinsinACABBCB