【新高考复习】专题07 平面向量——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

专题07平面向量1．【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aabA．3135B．1935C．1735D．1935【答案】D【解析】5a，6b，6ab，225619aabaab.22222526367ababaabb，因此，1919cos,5735aabaabaab.故选：D．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是A．()2,6B．()6,2C．()2,4D．()4,6【答案】A【解析】如图，AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以APAB的取值范围是()2,6，故选：A．【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设,ab为单位向量，且||1ab，则||ab______________.【答案】3【解析】因为,ab为单位向量，所以||||1ab所以222||||2||221ababaabbab，解得：21ab，所以222||||2||3ababaabb，故答案为：3.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.4．【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k=__________.【答案】22【解析】由题意可得：211cos452ab，由向量垂直的充分必要条件可得：0kaba，即：2202kaabk，解得：22k.的故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCADAB，则实数的值为_________，若,MN是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的最小值为_________．【答案】(1).16；(2).132【解析】ADBC，//ADBC，180120BADB，cos120ABADBCABBCAB1363922，解得16，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，66,0BCC，,∵3,60ABABC，∴A的坐标为333,22A,∵又∵16ADBC,则533,22D，设,0Mx，则1,0Nx(其中05x)，533,22DMx，333,22DNx，222533321134222222DMDNxxxxx，所以，当2x时，DMDN取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.6．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则||PD_________；PBPD_________．【答案5；1【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，1112,02,22,1222APABAC，则点2,1P，2,1PD，0,1PB，因此，22215PD，021(1)1PBPD.故答案为：5；1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量1e，2e满足122|2|ee．设12aee，123bee，向量a，b的夹角为，则2cos的最小值是_______．【答案】2829【解析】12|2|2eeururQ，124412eeurur，1234eeurur，222121222121212(44)4(1)()cos(22)(106)53eeeeabeeeeeeabururururrrururururururrr12424228(1)(1)3332953534eeurur.故答案为：2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.8．【2020年高考江苏】在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC(m为常数)，则CD的长度是▲．【答案】185【解析】∵,,ADP三点共线，∴可设0PAPD，∵32PAmPBmPC，∴32PDmPBmPC，即32mmPDPBPC，若0m且32m，则,,BDC三点共线，∴321mm，即32，∵9AP，∴3AD，∵4AB,3AC,90BAC，∴5BC，设CDx，CDA，则5BDx，BDA.∴根据余弦定理可得222cos26ADCDACxADCD，222257cos265xADBDABADBDx，∵coscos0，∴2570665xxx，解得185x，∴CD的长度为185.当0m时，32PAPC，,CD重合，此时CD的长度为0，当32m时，32PAPB，,BD重合，此时12PA，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出0PAPD．1．【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量1,3,2amb，，且()abb，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】∵(1,),(3,2),(4,2)ambabm，又()abb，∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．2．【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量,ab满足||1,||3ab,且a与b的夹角为6,则()(2)ababA．12B．32C．12D．32【答案】A【解析】2231()(2)2231322abababab.故选A．【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.3．【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量1,1a，2,bx，若//aab，则实数x的值为A．2B．0C．1D．2【答案】D【解析】∵1,1a，2,bx，∴1,1xab，又//aab，∴1x1，∴2x.故选D．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹角和模长等问题，是基础题．4．【2020河北省高三月考】已知向量a，b满足2a，||1b，且2ba，则向量a与b的夹角的余弦值为A．22B．23C．28D．24【答案】D【解析】由题意可知：2222324bababaab，解得：12ab.12cos,422ababab.本题正确选项D．【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5．【2020湖南省高三月考】如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BDDC，若ADABAC，则A．12B．13C．2D．23【答案】B【解析】34ADABBDABBC3()4ABACAB1344ABAC，所以13,44，从而求得13，故选B．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.6．【2020·威远中学校高三月考】已知向量(3,2)a，(,1)bxy且a∥b，若,xy均为正数，则32xy的最小值是A．24B．8C．83D．53【答案】B【解析】由a∥b得3(1)2233yxxy，因此323223149149()(12)(122)8333xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当49xyyx时取等号，所以选B．【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在ABC中，12BDDA，CEEA，则DE为A．7162BABCB．1162BABCC．7162BABCD．1162BABC【答案】D【解析】212111()323262DEDAAEBAACBABCBABABC故选：D8．【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量(1,2)a，(2,1)b，(,)cxy，若()abc，则b在c上的投影为A．102B．105C．102D．105【答案】A【解析】由(1,2)a，(2,1)b，得(1,3)ab，所以由()abc，得303xyxy，所以b在c上的投影为222510||cos,||210||bcxyybbccyxy.故选A．9．【2020重庆南开中学高三月考】向量(2,)at，(1,3)b，若a，b的夹角为钝角，则t的范围是A．23tB．23tC．23t且6tD．6t【答案】C【解析】若a，b的夹角为钝角，则0ab且不反向共线，230abt，得23t.向量2,at，1,3b共线时，23t，得6t.此时2ab.所以23t且6t.故选C．【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.10．【2020湖北省高三零模】已知向量a，b满足4a，b在a上投影为2，则3ab的最小值为A．12B．10C．10D．2【答案】B【解析】b在a上投影为2，即cos,2bab.0b，cos,0ab，又cos,1,0ab，min2b，2222223696cos,9964abaabbaababbb，min3946410ab.本题选B．【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b的最小值.11．【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量,ab满足2(1,2),(1,)abmbm，且a在b方向上的投影是255，则实数mA．2B．2C．5D．5【