【新高考复习】专题01 复数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题一《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ―→.3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（）A．163𝑖B．6iC．203𝑖D．20【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，得a=−23，此时z=203i，故选：C．2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（）A．110B．−110C．𝑖10D．−𝑖10【解答】解：由z（1+3i）＝i，得𝑧=𝑖1+3𝑖=𝑖(1−3𝑖)(1+3𝑖)(1−3𝑖)=3+𝑖10=310+𝑖10，∴z的虚部为110．故选：A．3．已知复数𝑧=2𝑖1+𝑖（i虚数单位），则z⋅𝑧=（）A．√2B．2C．1D．12【解答】解：由题意知|𝑧|=|2𝑖||1+𝑖|=|2|√2=√2，利用性质𝑧⋅𝑧=|𝑧|2，得z⋅𝑧=2，故选：B．4．若𝑎−𝑖𝑖=b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵𝑎−𝑖𝑖=−ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，∴a＝﹣2，b＝﹣1∴a+b＝﹣3．故选：A．5．设复数z满足z=𝑖−11+𝑖，则|z|＝（）A．1B．√2C．√3D．2【解答】解：z=𝑖−11+𝑖=−(1−𝑖)22=𝑖，故|z|＝1，故选：A．6．设复数z满足1+𝑧1−𝑧=i，则|z|＝（）A．1B．√2C．√3D．2【解答】解：∵复数z满足1+𝑧1−𝑧=i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z=𝑖−1𝑖+1=i，∴|z|＝1，故选：A．7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为iB．z为实数C．|z|=√2D．z+𝑧=2i【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z=2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−2+2𝑖2=−1+i，则|z|=√2；由于z的虚部是1，则A，B错，z+𝑧=−2，则D错．故选：C．8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（）A．−√3B．±√3C．±√3iD．√3i【解答】解：复数Z的实部为1，设Z＝1+bi．|Z|＝2，可得√1+𝑏2=2，解得b=±√3．复数Z的虚部是±√3．故选：B．题型二.复数的几何意义1．已知i是虚数单位，则复数(1−𝑖)21+𝑖在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由(1−𝑖)21+𝑖=−2𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=−1−𝑖，则复数(1−𝑖)21+𝑖在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．2．设i是虚数单位，𝑧的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•𝑧在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝1+2i，∴z+i•𝑧=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．∴复数z+i•𝑧在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．故选：A．3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（）A．0B．﹣1C．1D．√2【解答】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1＝0，即a＝﹣1．故选：B．4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数𝑧在复平面内对应的点位于第一象限．【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，∴𝑧=3+4𝑖，则复数𝑧在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．故答案为：一．5．在复平面内，O是坐标原点，向量𝑂𝐴→对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量𝑂𝐵→对应的复数的模为√5．【解答】解：∵向量𝑂𝐴→对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．∴向量𝑂𝐵→对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|=√5．故答案为：√5．6．已知i为虚数单位，且复数z满足𝑧−2𝑖=11−𝑖，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）A．132B．√262C．√102D．52【解答】解：由𝑧−2𝑖=11−𝑖，得z＝2i+11−𝑖=2i+1+𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)=12+52𝑖，∴复数z在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为√14+254=√262．故选：B．题型三.复数的指数幂运算1．若复数z=2𝑖1+𝑖7（i为虚数单位），则复数𝑧在复平面上对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=2𝑖1+𝑖7=2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−1+i，∴𝑧=−1﹣i，∴复数𝑧在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；∴它对应的点在第三象限，故选：C．2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则𝑎+𝑖20161+𝑖的值为（）A．1B．0C．1+iD．1﹣i【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，𝑎+𝑖20161+𝑖=1+11+𝑖=2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=1﹣i．故选：D．3．已知复数z=(1+𝑖)3(1−𝑖)2（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i【解答】解：z=(1+𝑖)3(1−𝑖)2=(1+𝑖)⋅2𝑖−2𝑖=−1﹣i，则z的虚部为﹣1，故选：A．4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i【解答】解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．5．设i是虚数单位，则复数z＝（1+𝑖1−𝑖）2013＝（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i【解答】解：∵1+𝑖1−𝑖=(1+𝑖)2(1+𝑖)(1−𝑖)=2𝑖2=𝑖，∴z＝（1+𝑖1−𝑖）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．故选：D．6．已知复数z＝﹣1+i，则𝑧+2𝑧2+𝑧=（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴𝑧+2𝑧2+𝑧=−1+𝑖+2(−1+𝑖)2−1+𝑖=1+𝑖−1−𝑖=(1+𝑖)(−1+𝑖)(−1−𝑖)(−1+𝑖)=−1．故选：A．7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．√2D．2【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|=√(−1)2+12=√2．故选：C．8．当z=−1−𝑖√2时，z100+z50+1的值等于﹣i．【解答】解：∵z=−1−𝑖√2=√22−√22i∴z2=12−2×√22×√22i+（√22i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1根据复数乘方的含义，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12•z2＝﹣i∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i故答案为：﹣i题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z满足3z+𝑧=−4+2i，则z＝（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则3z+𝑧=3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，∴{4𝑎=−42𝑏=2，即a＝﹣1，b＝1．∴z＝﹣1+i．故选：D．2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A．25B．5C．√5D．2+i【解答】解：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，∴{𝑎2−𝑏2=32𝑎𝑏=4，解得{𝑎=2𝑏=1或{𝑎=−2𝑏=−1．∴|𝑧|=√𝑎2+𝑏2=√5．故选：C．法二、由z2＝3+4i，得|𝑧2|=|𝑧|2=√32+42=5，则|z|=√5．故选：C．3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+√3i，则|z1﹣z2|＝√6．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），因为复数z满足|𝑧1|=1，|𝑧2|=2，𝑧1+𝑧2=−1+√3𝑖，所以{𝑎+𝑐=−1𝑏+𝑑=√3且a2+b2＝1，c2+d2＝4，所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，即2ac+2bd＝﹣1，则|z1﹣z2|=√(𝑎−𝑐)2+(𝑏−𝑑)2=√𝑎2+𝑏2+𝑐2+𝑑2−2(𝑎𝑐+𝑏𝑑)=√5+1=√6．故答案为：√6．4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2D．2√2【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作图如图：∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝2√2−1．故选：A．5．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（）A．3+2√3B．2√10C．3+√10D．6【解答】解：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，则则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝3+√12+(−3)2=3+√10．故选：C．6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是4√2．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，∴√𝑥2+(𝑦−4)2=√(𝑥+2)2+𝑦2，化为x+2y＝3．则2x+4y≥2√2𝑥⋅4𝑦=2√2𝑥+2𝑦=4√2，因此2x+4y的最小值是4√2．故答案为：4√2．