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专题一《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ―→.3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（）A．163𝑖B．6iC．203𝑖D．202．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（）A．110B．−110C．𝑖10D．−𝑖103．已知复数𝑧=2𝑖1+𝑖（i虚数单位），则z⋅𝑧=（）A．√2B．2C．1D．124．若𝑎−𝑖𝑖=b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．设复数z满足z=𝑖−11+𝑖，则|z|＝（）A．1B．√2C．√3D．26．设复数z满足1+𝑧1−𝑧=i，则|z|＝（）A．1B．√2C．√3D．27．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为iB．z为实数C．|z|=√2D．z+𝑧=2i8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（）A．−√3B．±√3C．±√3iD．√3i题型二.复数的几何意义1．已知i是虚数单位，则复数(1−𝑖)21+𝑖在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设i是虚数单位，𝑧的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•𝑧在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（）A．0B．﹣1C．1D．√24．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数𝑧在复平面内对应的点位于第象限．5．在复平面内，O是坐标原点，向量𝑂𝐴→对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量𝑂𝐵→对应的复数的模为．6．已知i为虚数单位，且复数z满足𝑧−2𝑖=11−𝑖，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）A．132B．√262C．√102D．52题型三.复数的指数幂运算1．若复数z=2𝑖1+𝑖7（i为虚数单位），则复数𝑧在复平面上对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则𝑎+𝑖20161+𝑖的值为（）A．1B．0C．1+iD．1﹣i3．已知复数z=(1+𝑖)3(1−𝑖)2（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i5．设i是虚数单位，则复数z＝（1+𝑖1−𝑖）2013＝（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i6．已知复数z＝﹣1+i，则𝑧+2𝑧2+𝑧=（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．√2D．28．当z=−1−𝑖√2时，z100+z50+1的值等于．题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z满足3z+𝑧=−4+2i，则z＝（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A．25B．5C．√5D．2+i3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+√3i，则|z1﹣z2|＝．4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2D．2√25．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（）A．3+2√3B．2√10C．3+√10D．66．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是．