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专题四《不等式》讲义知识梳理.不等式1．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：①ab，c0⇒acbc;②ab0，cd0⇒acbd；(5)可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3.均值定理如果,abR，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立【均值不等式的常见变形】（1）2,abababR（2）222,abababR（3）2,2abababR（4）222,2abababR（）题型一.不等式的性质1．下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜bB．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．故选：C．2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，故选：B．3．若1𝑎＜1𝑏＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由1𝑎＜1𝑏＜0，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选：C．4．√7+3与√6+√10的大小关系是（）A．√7+3＜√6+√10B．√7+3＞√6+√10C．√7+3=√6+√10D．不确定【解答】解：(√7+3)2=16+6√7=16+√252，(√6+√10)2=16+2√60=16+√240，∴(√7+3)2＞(√6+√10)2，∴√7+3＞√6+√10．故选：B．5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cbB．ac＜bcC．logca＞logbcD．bac＜abc【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；对于C，取a＝4，b＝2，c=12，则logca=𝑙𝑜𝑔124=−2，logbc=𝑙𝑜𝑔212=−1，logca＜logbc，故C错误；对于D，由a＞b＞1，可得0＜𝑏𝑎＜1，又0＜c＜1，所以(𝑏𝑎)1＜(𝑏𝑎)𝑐，即bac＜abc，故D正确．故选：D．6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．1𝑦＞1𝑥B．ln（x﹣y）＞lnyC．𝑥+𝑦＜√2(𝑥2+𝑦2)D．x﹣y＜ex﹣ey【解答】解：因为x＞y＞0，所以1𝑦＞1𝑥，A正确；由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），所以ex﹣x＞ey﹣y，所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．故选：ACD．题型二.一元二次不等式1．集合𝐴={𝑥|(𝑥−1)(2𝑥−3)≤1}，𝐵={𝑥|−1＜𝑥＜32}，则A∩B为（）A．{𝑥|12＜𝑥≤32}B．{𝑥|1＜𝑥≤32}C．{𝑥|12≤𝑥≤32}D．{𝑥|12≤𝑥＜32}【解答】解：由A中的不等式变形得：2x2﹣5x+2≤0，即（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：12≤x≤2，即A＝{12≤x≤2}；∵B＝{x|﹣1＜x＜32}，∴A∩B＝{x|12≤x＜32}．故选：D．2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3}B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0；当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2＜a≤3；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足﹣1≤a＜0；综上知，实数a的取值范围是{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}．故选：C．3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴﹣2+4=−𝑏𝑎，﹣2×4=𝑐𝑎．那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣8）＝a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．此抛物线开口向下，其图象关系直线x＝1对称，∴f（﹣1）＝f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），故选：D．4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2𝑥−𝑥)𝑚𝑎𝑥，x∈[1，4]；设f（x）=2𝑥−x，x∈[1，4]，则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，2]D．（﹣2，2）【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则{𝑎−2＜0[2(𝑎−2)]2−4(𝑎−2)(−4)＜0，解得：﹣2＜a＜2．综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故选：C．6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为[ln2，2]．【解答】解：若（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0，则①x2﹣ax+1≥0且lnx﹣a≤0，由x2﹣ax+1≥0，得：a≤x+1𝑥，由y＝x+1𝑥在[1，2]递增，得：a≤2，由a≥lnx得：a≥ln2，故ln2≤a≤2；②x2﹣ax+1≤0且lnx﹣a≥0，由x2﹣ax+1≤0，得：a≥x+1𝑥，由y＝x+1𝑥在[1，2]递增，得：a≥52，由a≤lnx得：a≤ln1＝0，无解故a的取值范围是[ln2，2]，故答案为：[ln2，2]．题型三.基本不等式考点1.和定积最大、积定和最小1．已知a＞0，b＞0，且满足𝑎3+𝑏4=1，则ab的最大值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足𝑎3+𝑏4=1，∴1≥2√𝑎3⋅𝑏4，化为：ab≤3，当且仅当a=32，b＝2时取等号．则ab的最大值是3．故选：B．2．已知x＞0，则y＝x+1𝑥+1的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵x＞0，∴y＝x+1𝑥+1≥2√𝑥⋅1𝑥+1＝3，当且仅当x＝1时取等号．∴y＝x+1𝑥+1的最小值是3．故选：B．3．已知0＜x＜2，则y＝x√4−𝑥2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【解答】解：0＜x＜2，可得4﹣x2＞0，则y＝x√4−𝑥2≤𝑥2+4−𝑥22=2，当且仅当x2＝4﹣x2，即x=√2时，上式取得等号，即有函数y的最大值为2．故选：A．考点2.凑定值1．已知0＜𝑥＜12，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（）A．12B．14C．18D．19【解答】解：∵0＜x＜12，∴x（1﹣2x）=12•2x（1﹣2x）≤12•[2𝑥+(1−2𝑥)2]2=18，当且仅当2x＝1﹣2x时，即x=14时等号成立，因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（14）=18，故选：C．2．已知x＜54，求函数y＝4x﹣1+14𝑥−5的最大值．【解答】解：根据题意，函数y＝4x﹣5+14𝑥−5+4＝﹣[（5﹣4x）+15−4𝑥]+4，又由x＜54，则5﹣4x＞0，则（5﹣4x）+15−4𝑥≥2√(5−4𝑥)×15−4𝑥=2，则y＝﹣[（5﹣4x）+15−4𝑥]+4≤﹣2+4＝2，故函数y＝4x﹣1+14𝑥−5的最大值为2．考点3.1的代换1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2√𝑎⋅2𝑏．化简可得√𝑎𝑏≥2√2，∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B．2．若正数a，b满足2a+b＝1，则𝑎2−2𝑎+𝑏2−𝑏的最小值是2√23−12．【解答】解：设u＝2﹣2a，v＝2﹣b，则a=2−𝑢2，b＝2﹣v，u+v＝3，（u，v＞0），即有𝑎2−2𝑎+𝑏2−𝑏=1−12𝑢𝑢+2−𝑣𝑣=1𝑢+2𝑣−32=13（u+v）（1𝑢+2𝑣）−32=13（3+𝑣𝑢+2𝑢𝑣）−32≥13（3+2√𝑣𝑢⋅2𝑢𝑣）−32＝1+2√23−32=2√23−12．当且仅当v=√2u＝6﹣3√2时，取得最小值．故答案为：2√23−12．3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则2𝑥+𝑥𝑦的最小值为2+2√2．【解答】解：∵实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则2𝑥+𝑥𝑦=2(𝑥+𝑦)𝑦+𝑥𝑦=2+2𝑦𝑥+𝑥𝑦≥2+2√2𝑦𝑥⋅𝑥𝑦=2+2√2，当且仅当x=√2y＝2−√2时取等号．故答案为：2+2√2．考点4.x、y、xy型1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为2√3−2．【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2即：xy＝2﹣（x+y），利用基本不等式：xy≤（𝑥+𝑦2）2．∴2﹣（x+y）≤（𝑥+𝑦2）2．解之得：x+y≥2√3−2则x+y的最小值为2√3−2．故答案为2√3−2．2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为4．【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（𝑥+2𝑦2）2（当且仅当x＝2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0