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专题三《逻辑用语》讲义知识梳理.逻辑用语1．命题能判断真假的语句叫做命题．2．量词(1)全称量词与全称命题①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．②全称命题：含有全称量词的命题．③全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．②特称命题：含有存在量词的命题．③特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．(3)命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．【注】原命题与命题的否定真假性相反3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．【注】集合中，子集可以推出另一个集合.题型一.真假命题1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：甲：该方程两根之和为2；乙：该方程两根异号；丙：x＝1是方程的根；丁：x＝3是方程的根．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝iB．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣13．给出下列命题：①若空间向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→=𝑏→；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量𝑐→，由𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则𝑎→=𝑏→；④在向量的数量积运算中(𝑎→⋅𝑏→)⋅𝑐→=𝑎→⋅(𝑏→⋅𝑐→)．其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．44．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；（2）设a，b，c为实数，若a＞b，则ac2＞bc2；（3）设0＜𝛼＜𝛽＜𝜋2，则α﹣β的取值范围是(−𝜋2，𝜋2)．其中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．下列五个命题：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.8；②集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；③命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；④若(2𝑥−1√𝑥)𝑛的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为80；⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为23．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5题型二.量词与命题的否定1．命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃𝑛0∈𝑁∗，𝑓(𝑛0)∉𝑁∗且f（n0）＞n0D．∃𝑛0∈𝑁∗，𝑓(𝑛0)∈𝑁∗或f（n0）＞n02．已知f（x）＝sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，𝜋2），f（x）＜0，则（）A．P是假命题，￢𝑃：∀𝑥∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥)≥0B．P是假命题，￢𝑃：∃𝑥0∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥0)≥0C．P是真命题，￢𝑃：∀𝑥∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥)＞0D．P是真命题，￢𝑃：∃𝑥0∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥0)≥03．对于下列四个命题，其中的真命题是（）p1：∃x0∈（0，+∞），（12）𝑥0＜（13）𝑥0；p2：∃x0∈（0，1），log12x0＞𝑙𝑜𝑔13x0；p3：∀x∈（0，+∞），（12）x＞𝑙𝑜𝑔12x；p4：∀x∈（0，13），（12）x＜𝑙𝑜𝑔12x．A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．若命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．题型三.充分必要条件1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a，b都是不等于1的正数，则“loga3＞logb3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．设a，b是实数，则“a＞0，b＞0”是“𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，设命题p：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设点A，B，C不共线，则“𝐴𝐵→与𝐴𝐶→的夹角为锐角”是“|𝐴𝐵→+𝐴𝐶→|＞|𝐵𝐶→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是．8．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．题型四.存在问题、恒成立问题1．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈．2．若“对任意实数𝑥∈[0，𝜋2]，sinx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．3．已知命题p：∃x∈R，使得ex≤2x+a为假命题，则实数a的取值范围是．4．已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在𝑥1，𝑥2∈[12，2]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）