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专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣𝑥）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)【解答】解：要使f（x）有意义，则{1−𝑥＞02𝑥−1≠0；解得x＜1，且𝑥≠12；∴f（x）的定义域为(−∞，12)∪(12，1)．故选：B．2．函数𝑓(𝑥)=1√1−𝑥2的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁RN＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴M＝（﹣1，1），由x2+3x+2＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，∴N＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），∴∁RN＝[﹣2，﹣1]，则M∪∁RN＝[﹣2，1）．故选：A．考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是[﹣1，5]．【解答】解：∵函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，即﹣1≤x≤2，∴﹣2≤2x≤4∴﹣1≤3﹣2x≤5∴函数f（x）的定义域是[﹣1，5]故答案为：[﹣1，5]4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由{−1≤1+𝑥≤2−1≤1−𝑥≤2，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是（98，+∞）．【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞98，故a的取值范围是（98，+∞）．故答案为：（98，+∞）．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜𝑎＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32【解答】解：函数函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域为R，对a没有范围限制，若值域为R，则函数为一次函数，即{2𝑎2+5𝑎+3=0𝑎+1≠0，解得a=−32．故选：D．题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．【解答】解：设f（x）＝ax+b，a、b∈R，则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b即a2x+ab+b＝9x+4，∴{𝑎2=9𝑎𝑏+𝑏=4；解得{𝑎=3𝑏=1，或{𝑎=−3𝑏=−2；∴f（x）＝3x+1，或f（x）＝﹣3x﹣2．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+1．【解答】解：设y＝ax2+bx+c（a≠0）由f（0）＝1得，c＝1…（2分）∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x，即2ax+a+b＝2x…（8分）∴{2𝑎=2𝑎+𝑏=0⋯（11分）∴f（x）＝x2﹣x+1．故答案为：f（x）＝x2﹣x+1考点2.换元法3．已知𝑓(√𝑥−1)=𝑥−2√𝑥，则函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）．【解答】解：令t=√𝑥−1≥﹣1，则√𝑥=t+1，x＝（t+1）2，∴f（t）＝（t+1）2﹣2（t+1）＝t2﹣1，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）故答案为“f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）．4．已知f（1−𝑥1+𝑥）=1−𝑥21+𝑥2，求f（x）的解析式．【解答】解：设1−𝑥1+𝑥=t，则x=1−𝑡1+𝑡（t≠﹣1）；∴f（t）=1−(1−𝑡1+𝑡)21+(1−𝑡1+𝑡)2=2𝑡1+𝑡2；f（x）=2𝑥1+𝑥2（x≠﹣1）．考点3.凑配法5．（1）已知f（1𝑥）=𝑥1−𝑥2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1𝑥）＝x2+1𝑥2，求f（x）．【解答】解：（1）设𝑡=1𝑥，则x=1𝑡（t≠0），代入f（1𝑥）=𝑥1−𝑥2，得到𝑓(𝑡)=1𝑡1−(1𝑡)2=𝑡𝑡2−1，所以𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2−1（x≠0，x≠±1）．（2）f（x+1𝑥）＝x2+1𝑥2=(𝑥+1𝑥)2−2，所以f（x）＝x2﹣2（x≥2或x≤﹣2）．6．已知f（3x）＝4xlog23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于320．【解答】解：∵f（3x）＝4xlog23+10，∴设t＝3x，则x＝log3t，∴f（t）＝4×log3t×log23+10＝4log2t+10，∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）＝4（log22+log24+log28+log216+log232+log264+log2128+log2256+log2512+log21024）+10×10＝4（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+100＝320．故答案为：320．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝﹣3．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，令x＝1可得：f（1）+2f（﹣1）＝3，①令x＝﹣1可得：f（﹣1）+2f（1）＝﹣3，②联立①②，解可得：f（1）＝﹣3；故答案为：﹣3．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝3x+3﹣x．【解答】解：因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2•3﹣x，解得f（x）＝3x+3﹣x．故答案为：3x+3﹣x．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．【解答】解：（1）设x＜0，﹣x＞0；∴f（﹣x）＝log2（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）＝﹣log2（﹣x）；∴𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔2𝑥𝑥＞0−𝑙𝑜𝑔2(−𝑥)𝑥＜0；（2）①x＞0时，由f（x）＞0得，log2x＞0；∴x＞1；②x＜0时，由f（x）＞0得，﹣log2（﹣x）＞0；∴log2（﹣x）＜0；∴0＜﹣x＜1；∴﹣1＜x＜0；∴x的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]【解答】解：∵f（x+1）＝2f（x），∴f（x）=12f（x+1）；当x∈（﹣1，0]时，x+1∈（0，1]；故f（x）=12f（x+1）=12[（x+1）2﹣（x+1）]；∴−14≤（x+1）2﹣（x+1）≤0，∴−18≤12[（x+1）2﹣（x+1）]≤0，故选：A．考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【解答】解：∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，y＝log2x﹣a（x＞0），即g（x）＝log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2，故选：C．题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数𝑓(𝑥)=(15)𝑥的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣xD．𝑦=𝑥+1𝑥【解答】解：函数𝑓(𝑥)=(15)𝑥的定义域R，值域（0，+∞），A：函数的定义域不同，不符合题意；B：y＝|x+1|≥0，值域不同，不符合题意；C：y＝10﹣x定义域R，值域（0，+∞），符合题意；D：y＝x+1𝑥的定义域{x|x≠0}，定义域不同，不符合题意．故选：C．2．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0得x＞2，即函数f（x）的定义域为（2，+∞），即A＝（2，+∞），g（x）＝（12）2﹣x=14•2x，为增函数，则g（x）＞g（2）=14•22＝1，即g（x）的值域为（1，+∞），故选：D．考点2.换元法3．函数𝑦=2𝑥+4√1−𝑥的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：设t=√1−𝑥，则t≥0，则x＝1﹣t2，则函数等价为y＝2（1﹣t2）+4t＝﹣2t2+4t+2，对称轴为t=−42×(−2)=1，则当t＝1时，函数取得最大值y＝﹣2+4+2＝4，即y≤4，即函数的值域为（﹣∞，4]，故选：B．4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．RD．[2，+∞）【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，∴𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥2−2𝑥+3)≥log22＝1，故函数f（x）的值域是[1，+∞），故选：B．考点3.分离常数5．函数𝑦=2𝑥+1𝑥+1在x∈[0，+∞）上的值域是[1，2）．【解答】解：当x≥0时，函数𝑦=2𝑥+1𝑥+1=2−1𝑥+1在[0，+∞）上是增函数，故当x＝0时，函数取得最小值为1，又y＜2，故函数f（x）的值域为[1，2），故答案为：[1，2）．6．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5]【解答】解：𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥=𝑥+4𝑥，∴f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，∴f（2）＝4是f（x）在（1，3]上的最小值，且f（1）＝5，f（3）=133，∴f（x）在（1，3]上的值域为[4，5）