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专题四《函数》讲义5.2二次函数与幂函数知识梳理.二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上单调递增在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．题型一.二次函数考点1.二次函数根的分布、恒成立问题1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＞3+2√2C．m＞3+2√2或0＜m＜3−√2D．3﹣2√2＜m＜14．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．[﹣1，3]C．（﹣1，3）D．[0，2]5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[12，+∞）D．（12，+∞）6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为．考点2.二次函数的值域与最值1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．3．已知函数f（x）=√𝑚𝑥2−(𝑚−2)𝑥+𝑚−1的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是．4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．题型二.幂函数考点1.幂函数的图像与性质1．已知幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）𝑥𝑚2−4𝑚+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为3．幂函数𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝．4．已知函数f（x）=𝑥−𝑘2+𝑘+2，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是．考点2.利用幂函数比较大小1．已知a＝（53）13，b＝（23）34，c＝（53）14，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜aB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a2．设𝑎=(34)12，𝑏=(43)14，𝑐=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x𝑚2−4𝑚+2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝log54，b＝log153，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）