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专题七《三角函数》讲义7.3三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是kπ2，0(k∈Z)题型一.三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y＝3sin（2x+𝜋3）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（）A．向右平行移动𝜋12个单位B．向左平行移动𝜋12个单位C．向右平行移动𝜋6个单位D．向左平行移动𝜋6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+2𝜋3），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移𝜋6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移𝜋12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移𝜋6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移𝜋12个单位长度，得到曲线C23．（2021春•闵行区校级期中）函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移𝜋2个单位长度后与函数y＝sin（2x+2𝜋3）的图象重合，则|φ|的最小值为．4．（2016春•南通期末）将函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)，(𝜔＞0，−𝜋2＜𝜑＜𝜋2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移𝜋4个单位长度得到y＝sinx的图象，则𝑓(𝜋6)=．5．（2015•湖南）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜𝜋2）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=𝜋3，则φ＝（）A．5𝜋12B．𝜋3C．𝜋4D．𝜋6题型二.已知图像求解析式1．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间[−𝜋6，5𝜋6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移𝜋3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B．向左平移𝜋3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移𝜋6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D．向左平移𝜋6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔＞0，|𝜑|＜𝜋2)的部分图象如图所示，则（）A．𝜔=𝜋2，𝜑=−𝜋4B．ω=𝜋2，𝜑=𝜋4C．𝜔=𝜋，𝜑=−𝜋4D．𝜔=𝜋，𝜑=𝜋43．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（𝜋2）=−23，则f（0）＝（）A．−23B．−12C．23D．124．已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜𝜋2）的部分图象如图所示，下列关于函数g（x）＝Acos（ωx+φ）（x∈R）的表述正确的是（）A．函数g（x）的图象关于点（𝜋4，0）对称B．函数g（x）在[−𝜋8，3𝜋8]递减C．函数g（x）的图象关于直线x=𝜋8对称D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移𝜋4个单位得到函数g（x）的图象题型三.三角函数的性质考点1.单调性1．函数y＝sin（﹣2x+𝜋3）的单调递减区间是（）A．[kπ−𝜋12，kπ+5𝜋12]，k∈ZB．[2kπ−𝜋12，2kπ+5𝜋12]，k∈ZC．[kπ−𝜋6，kπ+5𝜋6]，k∈ZD．[2kπ−𝜋6，2kπ+5𝜋6]，k∈Z2．已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)(𝐴＞0，−𝜋2＜𝜑＜0)在𝑥=5𝜋6时取得最大值，则f（x）在[﹣π，0]上的单调增区间是（）A．[−𝜋，−5𝜋6]B．[−5𝜋6，−𝜋6]C．[−𝜋3，0]D．[−𝜋6，0]3．已知函数f（x）＝sin（2x+𝜋3）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．{a|0＜a≤𝜋12}B．{a|0＜a≤𝜋2}C．{a|a＝kπ+𝜋12，k∈N*}D．{a|2kπ＜a≤2kπ+𝜋12，k∈N*}4．已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+𝜋4）在区间（𝜋2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f（x）＝cos2x+sin2（x+𝜋6），则（）A．f（x）的最小正周期为π，最小值为12B．f（x）的最小正周期为π，最小值为−12C．f（x）的最小正周期为2π，最小值为12D．f（x）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f（x）＝sin2x+|sin2x|（x∈R），则下列判断正确的是（）A．f（x）是周期为2π的奇函数B．f（x）是值域为[0，2]周期为π的函数C．f（x）是周期为2π的偶函数D．f（x）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y＝sin2x−√3cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（）A．712𝜋B．𝜋4C．𝜋12D．𝜋64．已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（ab≠0，x∈R）在x=𝜋4处取得最大值，则函数y＝f（𝜋4−𝑥）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点(3𝜋2，0)对称C．奇函数且它的图象关于点(3𝜋2，0)对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（𝜋4）=√2，则f（3𝜋8）＝（）A．﹣2B．−√2C．√2D．22．（2015•天津）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．3．（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+asinx在区间（𝜋6，𝜋2）是减函数，则a的取值范围是．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x−13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，13]C．[−13，13]D．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f（x）＝sin（ωx+𝜋6），其中ω＞0，若f（𝜋6）＝f（𝜋3），且f（x）在区间（𝜋6，𝜋3）上有最小值、无最大值，则ω等于（）A．403B．283C．163D．436．（2014•北京）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[𝜋6，𝜋2]上具有单调性，且f（𝜋2）＝f（2𝜋3）＝﹣f（𝜋6），则f（x）的最小正周期为．题型四.三角函数最值1．函数f（x）=15sin（x+𝜋3）+cos（x−𝜋6）的最大值为（）A．65B．1C．35D．152．函数f（x）＝cos（ωx+𝜋3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（）A．[32，53]B．[23，43]C．[23，+∞)D．[23，32]3．已知函数f（x）＝cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（）A．f（x）的一条对称轴为x=𝜋4B．f（x）在（𝜋6，𝜋2）上是单调递减函数C．f（x）的对称中心为（𝜋2，0）D．f（x）的最大值为14．若0＜x≤𝜋3，则函数y＝sinx+cosx+sinxcosx的值域为．5．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥⋅𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑥2−𝜋4)−𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥(𝜔＞0)在区间[−2𝜋5，5𝜋6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（）A．(0，35]B．[12，35]C．[12，34]D．[12，52)6．已知函数f（x）＝cosx•sin（x+𝜋3）−√3cos2x+√34，x∈R（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间[0，𝜋2]上的最大值和最小值及相应的x值；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，𝜋2]上恒成立，求实数m的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f（x）＝sinωx−√3cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．2．已知函数f（x）=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12，（ω＞0，x∈R），若函数f（x）在区间（𝜋2，𝜋）内没有零点，则ω的取值范围（）A．（0，512]B．（0，512]∪[56，1112]C．（0，58]D．（0，56]∪[1112，1）3．函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑥+𝜋6)(𝜔＞0)图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t）（﹣2＜t＜2），若对任意s∈R，线段AB与函数图象都有五个不同交点，若f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且𝑥4−𝑥3=𝑥2−𝑥1=23(𝑥3−𝑥2)，则x1的所有可能值是课后作业.三角函数的图像与性质1．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinωx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象（）A．向左平移𝜋3个单位长度B．向左平移𝜋12个单位长度C．向右平移𝜋3个单位长度D．向右平移𝜋12个单位长度2．关于函数y＝2sin（3x+𝜋4）+1，下列叙述正确的是（）A．其图象关于直线x=−𝜋4对称B．其图象关于点（𝜋12，1）对称C．其值域是[﹣1，3]D．其图象可由y＝2sin（x+𝜋4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到3．已知函数f（x）＝（12a−√3）sinx+（√32a+1）cosx，将f（x）的图象向右平移𝜋3个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤g（𝜋4），则a的值为．4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（3𝜋4，0）对称，且在区间[0，𝜋2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（）A．23，𝜋4B．2，𝜋3C．2，𝜋2D．103，𝜋25．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤𝜋2，−𝜋4为f（x）的零点：且f（x）≤|f（𝜋4）|恒成立，f（x）在区间（−𝜋12，𝜋24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．176．已知函数f（x）＝2sin（ωx−𝜋6）sin（ωx+𝜋3）（ω＞0），若函数g（x）＝f（x）+√32在[0，𝜋2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，113）B．（2，113）C．[