【新高考复习】专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数

专题九《平面向量》讲义9.1线性运算、基本定理和坐标运算知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算一．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0r与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的线性运算（一）加法：求两个向量和的运算1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角3.运算律交换律：ar＋br＝br＋ar结合律：(ar＋br)＋cr＝ar＋(br＋cr)（二）减法：共起点，连终点，指向被减（三）数乘：求实数λ与向量ar的积的运算1.数乘意义：|λar|＝|λ||ar|，当λ0时，λar与ar的方向相同；当λ0时，λar与ar的方向相反；当λ＝0时，λar＝02.运算律（1）λ(μar)＝(λμ)ar（2）(λ＋μ)ar＝λar＋μar（3）λ(ar＋br)＝λar＋λbr3．向量共线定理向量br与非零向量ar共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得br＝λar.4．平面向量基本定理如果1eur，2eur是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ar，有且只有一对实数λ1，λ2，使ar＝λ11eur＋λ22eur.其中，不共线的向量1eur，2eur叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB―→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.题型一.线性运算1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则𝐸𝐵→=（）A．34𝐴𝐵→−14𝐴𝐶→B．14𝐴𝐵→−34𝐴𝐶→C．34𝐴𝐵→+14𝐴𝐶→D．14𝐴𝐵→+34𝐴𝐶→2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，𝐵𝐶→=3𝐶𝐷→，则（）A．𝐴𝐷→=−13𝐴𝐵→+43𝐴𝐶→B．𝐴𝐷→=13𝐴𝐵→−43𝐴𝐶→C．𝐴𝐷→=43𝐴𝐵→+13𝐴𝐶→D．𝐴𝐷→=43𝐴𝐵→−13𝐴𝐶→3．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则𝐸𝐵→+𝐹𝐶→=（）A．𝐴𝐷→B．12𝐴𝐷→C．𝐵𝐶→D．12𝐵𝐶→4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足16𝑂𝐴→−12𝑂𝐵→−3𝑂𝐶→=0→，则（）A．𝑂𝐴→=12𝐴𝐵→+3𝐴𝐶→B．𝑂𝐴→=−12𝐴𝐵→+3𝐴𝐶→C．𝑂𝐴→=12𝐴𝐵→−3𝐴𝐶→D．𝑂𝐴→=−12𝐴𝐵→−3𝐴𝐶→题型二.共线向量基本定理1．设𝑎→，𝑏→是不共线的两个平面向量，已知𝐴𝐵→=𝑎→−2𝑏→，𝐵𝐶→=3𝑎→+𝑘𝑏→(𝑘∈𝑅)，若A，B，C三点共线，则k＝（）A．2B．﹣2C．6D．﹣62．已知P是△ABC所在平面内的一点，若𝐶𝐵→−𝑃𝐵→=λ𝑃𝐴→，其中λ∈R，则点P一定在（）A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部3．在△ABC中，𝐴𝐵→=𝑐→，𝐴𝐶→=𝑏→．若点D满足𝐶𝐷→=2𝐷𝐵→，则𝐴𝐷→=（）A．23𝑏→+13𝑐→B．13𝑏→+23𝑐→C．23𝑏→−13𝑐→D．13𝑏→−23𝑐→4．△ABC内一点O满足𝑂𝐴→+2𝑂𝐵→+3𝑂𝐶→=0→，直线AO交BC于点D，则（）A．2𝐷𝐵→+3𝐷𝐶→=0→B．3𝐷𝐵→+2𝐷𝐶→=0→C．𝑂𝐴→−5𝑂𝐷→=0→D．5𝑂𝐴→+𝑂𝐷→=0→题型三.三点共线定理1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若𝐴𝐷→=2𝐷𝐵→，𝐶𝐷→=13𝐶𝐴→+𝜆𝐶𝐵→，则λ＝（）A．23B．13C．−13D．−232．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若𝐶𝐵→=𝑎→，𝐶𝐴→=𝑏→，|𝑎→|＝1，|𝑏→|＝2，则𝐶𝐷→=（）A．13𝑎→+23𝑏→B．23𝑎→+13𝑏→C．35𝑎→+45𝑏→D．45𝑎→+35𝑏→3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若𝐴𝐶→=𝑎→，𝐵𝐷→=𝑏→，则𝐴𝐹→=（）A．14𝑎→+12𝑏→B．23𝑎→+13𝑏→C．12𝑎→+14𝑏→D．13𝑎→+23𝑏→4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量𝑂𝐴→和𝑂𝐵→，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若𝑂𝐶→=x𝑂𝐴→+y𝑂𝐵→，其中x，y∈R，则x+y的最大值是．5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若𝐴𝑃→=λ𝐴𝐵→+μ𝐴𝐷→，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2√2C．√5D．26．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且𝑂𝑃→=𝑥𝑂𝐴→+𝑦𝑂𝐵→，则x的取值范围是；当𝑥=−12时，y的取值范围是．题型四.坐标运算1．已知向量𝑎→=（3，﹣2），𝑏→=（x，y﹣1）且𝑎→∥𝑏→，若x，y均为正数，则3𝑥+2𝑦的最小值是（）A．24B．8C．83D．532．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|𝑂𝐶|=2√2，且∠𝐴𝑂𝐶=𝜋4，设𝑂𝐶→=𝜆𝑂𝐴→+𝑂𝐵→(𝜆∈𝑅)，则λ的值为（）A．1B．−23C．12D．233．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若𝐴𝐶→=x𝐷𝐸→+y𝐴𝑃→（xy≠0），则以下说法正确的是：（请将所有正确的命题序号填上）①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧𝐷𝐵̂的中点；③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；④若点E与B重合，点P为𝐷𝐵̂上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．课后作业.线性运算、基本定理和坐标运算1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则𝐴𝐹→=（）A．23𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→B．34𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→C．12𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→D．23𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→2．设x∈R，向量𝑎→=（x，1），𝑏→=（1，﹣2），且𝑎→∥𝑏→，则|𝑎→+𝑏→|＝（）A．√52B．√102C．√5D．53．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足|𝑂𝐵→−𝑂𝐶→|=|𝑂𝐵→+𝑂𝐶→−2𝑂𝐴→|，若|AB|＝2，|𝐴𝐶|=√3，则△ABC的外接圆的面积为．4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若𝐴𝐵→=𝑚𝐴𝑀→，𝐴𝐶→=𝑛𝐴𝑁→，𝑚＞0，𝑛＞0，则1𝑚+4𝑛的最小值为（）A．2B．4C．92D．95．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若𝐵𝐷→=λ𝐴𝐸→+μ𝐵𝐸→，则λ+μ＝．6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段DE上的任意一点，若𝐴𝑃→=x𝐴𝐵→+y𝐴𝐶→，则xy的最大值为（）A．136B．118C．112D．19