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专题十一《立体几何》讲义11.3平行与垂直证明知识梳理.平行与垂直证明1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α题型一.平行问题考点1.线面平行1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：（1）直线MN∥平面PAD；【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NG=12DC，则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．（1）证明：PA∥平面BDE；【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，所以PA∥EF，又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE；考点2.面面平行3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】证明：连结A1B、AC1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点，∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴C1D∥BE，∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，AD、C1D⊂平面ADC1，A1E、BE⊂平面A1EB，∴平面A1EB∥平面ADC1．4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．（1）求证：E、B、F、D1四点共面（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．【解答】证明：（1）如图：在DD1上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN．同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=32，因为B1G＝1，所以𝐵1𝐺𝐵1𝐻=23，因为𝐹𝐶𝐵𝐶=23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB，由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F．考点3.线线平行5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C＝A1D且A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C；6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD．AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N是PC的中点，E是PD的中点∴NE∥CD，且NE=12𝐶𝐷∵CD∥AB，M是AB的中点∴NE∥AM且NE＝AM．所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE．又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）题型二.垂直问题考点1.线面垂直1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；【解答】（I）证明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊂平面ABD，∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD．2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC=√2，由AC=√2，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；考点2.面面垂直3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．【解答】证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，∴𝐷𝑂=12𝐴𝐶，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．考点3.线线垂直5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=√2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）设二面角P﹣BD﹣A的大小为α，直线PA与平面PBC所成角的大小为β，求cos（α+β）的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，𝐴𝐵=√2，∴由余弦定理，得：BD=√1+2−2×1×√2×𝑐𝑜𝑠45°=1，…（2分）∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥ED；（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出𝐸𝐹𝐸𝐴；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EA＝EB，所以EO⊥AB．…（2分）因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD．又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO．…（4分）因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD．…（5分）所以AB⊥ED．…（6分）（Ⅱ）解：点F满足𝐸𝐹𝐸𝐴=12，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE．…（7分）证明如下：取EB中点G，连接CG，FG．…（8分）因为F为EA中点，所以FG∥AB，𝐹𝐺=12𝐴𝐵．因为AB∥CD，𝐶𝐷=12𝐴𝐵，所以FG∥CD，FG＝CD．所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．…（11分）因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，…（12分）所以DF∥平面BCE．…（13分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/721:31:29；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067题型三.存在性问题1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．…．（14分）2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧𝐶𝐷̂所在平面垂直，M是𝐶𝐷̂上异于C、D的点．（1）证明：DM⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解答】解：（1）证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，BC⊂平面BMC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC；（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且𝐶𝑄𝑄𝐷1=𝐵𝑃𝑃𝐷=23．（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的