【新高考复习】专题13解析几何 13.1直线方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十三《解析几何》讲义13.1直线方程知识梳理.直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.5．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.题型一.倾斜角与斜率之间的关系1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，𝜋4]∪[3𝜋4，𝜋)C．[0，𝜋4]D．[0，𝜋4]∪(𝜋2，𝜋)【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴3𝜋4≤𝛼＜𝜋或0≤𝛼≤𝜋4．∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，𝜋4]∪[3𝜋4，π）．故选：B．2．若0＜α＜𝜋2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．αB．𝜋2+αC．π﹣αD．﹣α【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼=−cotα.0＜α＜𝜋2，∴直线的倾斜角为β．tanβ＝﹣cotα＝tan（𝜋2+α）．∴β=𝜋2+α．故选：B．3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，−12]∪[5，+∞）．【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），∴直线AP的斜率k1=−3−2−2+1=5．同理可得直线BP的斜率k2=−12．设直线l与线段AB交于M点，当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率，此时l的斜率k≤−12．综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）题型二.直线方程1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），化为：y＝kx+1﹣k，由题意可得：0＜1﹣k＜2，解得﹣1＜k＜1．∴直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是3．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），∴直线AB的方程是：𝑥3+𝑦4=1，即4x+3y﹣12＝0，设P（x，y），则x＝3−34y，∴xy＝3y−34y2=−34（y﹣2）2+3≤3．当且仅当y＝2，x=32时，取等号，∴xy的最大值是3．故答案为：3．3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，依题意知，b=√42−32=√7，设点P（0，m）（0＜m＜√7），∵直线AC的方程为𝑥3+𝑦√7=1，即√7x+3y﹣3√7=0，∴点P（0，m）到直线√7x+3y﹣3√7=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=|3𝑚−3√7|√(√7)2+32=34|m−√7|=34（√7−m），又点P（0，m）到BC的距离为m，∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）＝m•34（√7−m）≤34•(𝑚+(√7−𝑚)2)2=34•74=2116（当且仅当m=√72时取“＝”）．∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为2116．题型三.直线的平行与垂直关系1．k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】①当k＝5时，直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：4x﹣2y+3＝0平行；②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，解得，k＝3或k＝5．故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．故选：A．2．已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为﹣4．【解答】解：∵直线l1与直线l2互相垂直，∴2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，∴l1：10x+4y﹣2＝0，∵垂足（1，c）在l1上，∴10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，解得b＝﹣12，∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4故答案为：﹣43．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，解方程组：{𝑥+𝑦=02𝑥−3𝑦+1=0得：{𝑥=−15𝑦=15，∴△ABC的垂心坐标（−15，15）；（2）∵点A的坐标为（1，2），根据直线方程的两点式得：𝑦−215−2=𝑥−1−15−1即：3x﹣2y+1＝0．∴BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布题型四.距离问题1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A．y＝x或x＝0B．y＝x或y＝0C．y＝x或y＝﹣4xD．y＝x或𝑦=12𝑥【解答】解：①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率为4−21−(−1)=1，此时直线l的方程为y＝x；②当直线l过线段AB的中点时，AB中点的坐标为（0，3），此时直线l的方程为x＝0．故选：A．2．P、Q分别为3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为是52．【解答】解：∵3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0是平行线，即3x+4y﹣10＝0与3x+4y+52=0∴|PQ|的最小值d=|52+10|√32+42=52，故答案为：52．3．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），则A（−4𝑘+1，0），B（0，﹣k+4），∴|OA|+|OB|=−4𝑘+1+(−𝑘+4)＝（−4𝑘−k）+5≥2√(−4𝑘)⋅(−𝑘)+5＝9，当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6＝0．②由①知|PA|•|PB|=√(−4𝑘+1−1)2+42•√12+(−𝑘+4−4)2=√16(𝑘2+1)2𝑘2=−4𝑘(𝑘2+1)=4（−1𝑘−𝑘）≥4⋅2√(−1𝑘)⋅(−𝑘)=8，当且仅当k＝﹣1时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．题型五.对称问题1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线l：x+y＝0对称的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：设点A（1，2）关于直线x+y＝0对称点为B（m，n），则𝑛−2𝑚−1=1且𝑛+22+𝑚+12=0，解得m＝﹣2，n＝﹣1，则点A（1，2）关于直线l：x+y＝0的对称点B为（﹣2，﹣1），故选：D．2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是3x+y+1＝0．【解答】解：联立{𝑥+3𝑦−1=0𝑥−𝑦+1=0，解得{𝑥=−12𝑦=12．其交点为M(−12，12)．在直线x+3y﹣1＝0上取一点P（1，0），设点P关于直线x﹣y+1＝0的对称点为Q（m，n），则{𝑚+12−𝑛2+1=0𝑛𝑚−1×1=−1解得{𝑚=−1𝑛=2，即Q（﹣1，2）．∴直线MQ的方程为𝑦−2=12−2−12−(−1)(𝑥+1)，化为3x+y+1＝0，即为所求．故答案为3x+y+1＝0．3．若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（0，2）．【解答】解：∵直线l1：y＝k（x﹣4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），又直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点N（0，2），故答案为（0，2）．4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被点P平分，则此直线的方程为8x﹣y﹣24＝0．【解答】解：设点A（x，y）在l1上，由题意知：线段AB的中点为P（3，0），∴点B（6﹣x，﹣y），解方程组{2𝑥−𝑦−2=0(6−𝑥)−𝑦+3=0，解得{𝑥=113𝑦=163，∴k=163113−3=8．∴所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．故答案是：8x﹣y﹣24＝0．5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2√10B．6C．3√3D．2√5【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4＝0的对称点P″（a，b）∴{𝑏−0𝑎−2×(−1)=−1𝑎+22+𝑏+02−4=0，解得{𝑎=4𝑏=2，∴光线所经过的路程|P′P″|＝2√10，故选：A．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/1822:04:18；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067课后作业.直线方程1．若直