搜索
2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点02常用逻辑用语知识点1、四种命题的真假关系例1.命题“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据题意，由余弦定理分析可得原命题为真而其逆命题为假，结合四种命题的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，原命题为“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”，若AB2+BC2＜AC2，则cosB＝＜0，则B为钝角，则△ABC是钝角三角形，则原命题是真命题，其逆命题为“若△ABC是钝角三角形，则AB2+BC2＜AC2”，△ABC是钝角三角形，而B不一定是钝角，即AB2+BC2＜AC2不一定成立，则其逆命题是假命题，则原命题的逆否命题为真，否命题为假，故有2个是真命题；故选：C．【知识点】四种命题的真假关系、命题的真假判断与应用练习：1.已知原命题：已知ab＞0，若a＞b，则＜，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为（）A．0B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据四种命题之间的关系，写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假性．【解答】解：原命题：已知ab＞0，若a＞b，则＜，∵ab＞0，∴＞0，又a＞b，∴＞，即＞，即＜，原命题是真命题；逆命题：已知ab＞0，若＜，则a＞b，∵ab＞0，＜，∴＜，即b＜a，即a＞b，逆命题是真命题；否命题：已知ab＞0，若a≤b，则≥，由逆否命题真假性相同，判断否命题是真命题；逆否命题：已知ab＞0，若≥，则a≤b，由逆否命题真假性相同，判断它是真命题；综上，这四个命题中真命题有4个．故选：D．【知识点】四种命题、四种命题的真假关系2.下列说法中正确的是（）A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真B．“a＞b”是“a+c＞b+c”的充分不必要条件C．“若a2+b2＝0，则a，b全为0．”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真【答案】A【分析】根据一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，判断A正确；根据题意判断充分性与必要性是否成立，得出B错误；根据“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，判断C错误；根据一个命题的逆命题与它的逆否命题真假性不同，判断D错误．【解答】解：对于A，一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，它们的真假性相同，∴A正确；对于B，“a＞b”时“a+c＞b+c”成立，“a+c＞b+c”时“a＞b”也成立，是充要条件，∴B错误；对于C，“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，∴C错误；对于D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，∴D错误．故选：A．【知识点】四种命题的真假关系3.有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα＞0，则α是第一，二象限的角；④若sinα＝sinβ，则α＝2kπ+β，k∈Z；⑤已知α为第二象限的角，则为第一象限的角．其中正确命题的序号有．【答案】①【分析】根据三角函数的定义，终边相同的角所有的三角函数的值均相等；终边不同的角如果终边关于X轴对称，则余弦值相等，终边关于Y轴对称，则正弦值相等，终边关于原点对称，则正切值相等；若sinα＞0，则α的终边落在第I、II象限或Y轴的非负半轴上；若sinα＝sinβ，则α、β的终边重合或关于Y轴对称；若α为第二象限的角，则为第I、III象限的解，据此逐一对5个结论进行分析即可得到正确的答案．【解答】解：三角函数的定义得，①正确；与﹣的终边不同，但cos＝cos（﹣），故②错误；若α＝，则sinα＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误；令α＝，β＝，则sinα＝sinβ，但α≠2kπ+β，k∈Z，故④错误；α＝为第二象限的角，但＝为第三象限的角，故⑤错误．故答案为：①【知识点】终边相同的角、象限角、轴线角、四种命题的真假关系4.已知：命题“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1，则①否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1，”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，是真命题．其中正确结论的序号是．（填上所有正确结论的序号）【答案】④【分析】先分别判断原命题的真假，再结合四种命题的关系和各命题的形式进行判断．【解答】解：“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f'（x）＝ex﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，即m≤ex在（0，+∞）上恒成立，故m≤1．则原命题正确．①原命题的否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是减函数，则m＞1”，因为“增函数”的否定不是“减函数”，所以①错误．②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”．当m≤1，则f'（x）＝ex﹣m＞0在（0，+∞）恒成立，故逆命题正确．所以②错误．③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上不是减函数”，所以③错误．④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，因为原命题和逆否命题为等价命题，所以④为真命题，所以④正确．故只有有④正确．故答案为：④．【知识点】四种命题的真假关系知识点2、充分条件、必要条件和充要条件例1.设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，根据取值范围即可判断逻辑关系．【解答】解：由2x＞4⇒x＞2，由x2+2x﹣3＞0⇒（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．故选：A．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件练习：1.已知||＝3，||＝4，则“|+|＝7”是“向量与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据|+|＝7，得到两个向量的夹角为0，又向量与共线，可得两个向量的夹角为0或π，结合充分条件和必要条件的定义，分析即可．【解答】解：因为|+|＝7，则有，又||＝3，||＝4，则有cosθ＝1，所以θ＝0，又向量与共线，则有θ＝0或π，所以“|+|＝7”是“向量与共线”的充分而不必要条件．故选：A．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.下列叙述正确的是（）A．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件D．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sinx0+cosx0＝，则p∧q为真命题【答案】B【分析】由四个命题之间的关系，充分不必要条件，必要不充分条件即可判断．【解答】解：选项A，￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故A错误；选项B，逆否命题为：已知x，y∈R，x＝2且y＝1，则x+y＝3；该命题为真命题，故选项B正确；选项C“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选项C错误；选项D，当x＜0时，命题p错误，故选项D错误；故选：B．【知识点】命题的真假判断与应用、命题的否定、充分条件、必要条件、充要条件3.下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；④﹣1＜x＜1；⑤x＞﹣1．其中可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为．【答案】②③【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，故①x＜1是必要不充分条件，②0＜x＜1是充分不必要条件，③﹣1＜x＜0是充分不必要条件，④﹣1＜x＜1是充要条件，⑤x＞﹣1是必要不充分条件，故选：②③．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件4.已知集合A＝{x|（）≤1}，B＝{x|log3（x+a）≥1，a∈R}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．【答案】（-∞，0]【分析】先根据指数函数和对数函数的单调性求出集合A，B，再根据必要不充分条件与集合包含关系之间的联系即可求解．【解答】解：由（≤1得，x2﹣x﹣6≥0，解得x≤﹣2或x≥3，由log3（x+a）≥1得，x+a≥3，解得x≥3﹣a，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⫋A，即3﹣a≥3，解得a≤0．故答案为：（﹣∞，0]【知识点】充分条件、必要条件、充要条件知识点3、复合命题及其真假例1.已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③【答案】B【分析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx＝错误，即命题p是假命题，∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，故选：B．【知识点】复合命题及其真假练习：1.已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q【答案】B【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x∈R，x2＞x3，为真命题，则￢p∧q为真，其余为假命题，故选：B．【知识点】复合命题及其真假2.命题p：“关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1”命题q：“函数的定义域内为减函数”．若p∨q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，3]D．R【答案】B【分析】求出命题p为真命题的a的范围，再由导数研究函数h（x）的单调性，可得命题q为假命题，由p∨q为真命题，得p为真命题，由此可得a的范围．【解答】解：由关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，得12+a+2＜0，则a＜﹣3，即p：a＜﹣3；由，得h′（x）＝＝（x≠0）．当x＞0时，h′（x）＜0，当x＜0时，令g（x）＝﹣xex﹣1，g′（x）＝﹣ex（x+1），若x＜﹣1时，g′（x）＞0，若﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．∴＜0，即h′（x）＜0．∴h（x）在（﹣∞，0）上为单调减函数，在（0，+∞）上为单调减函数．∴命题q为假命题．要使p∨q为真命题，则命题p为真命题，即a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：B．【知识点】复合命题及其真假3.已知m＞0，命题p：函数f（x）＝logm（2﹣mx）在[0，1]上单调递减，命题q：函数g（x）＝的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．【答案】[2，+∞）【分析】直接利用函数的单调性，函数的定义域的应用和真值表的应用求出结果