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专题九《平面向量》讲义9.2数量积知识梳理.数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型一.基本公式1．若非零向量𝑎→、𝑏→满足|𝑎→|=|𝑏→|且(2𝑎→+𝑏→)⊥𝑏→，则𝑎→与𝑏→的夹角为（）A．𝜋6B．𝜋3C．2𝜋3D．5𝜋62．已知非零向量𝑎→，𝑏→夹角为45°，且|𝑎→|＝2，|𝑎→−𝑏→|＝2．则|𝑏→|等于（）A．2√2B．2C．√3D．√23．已知向量𝑎→，𝑏→及实数t满足|𝑎→+t𝑏→|＝3．若𝑎→•𝑏→=2，则t的最大值是．题型二.几何意义——投影1．设向量𝑒1→，𝑒2→是夹角为2𝜋3的单位向量，若𝑎→=3𝑒1→，𝑏→=𝑒1→−𝑒2→，则向量𝑏→在𝑎→方向的投影为（）A．32B．12C．−12D．12．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则𝐴𝑃→⋅𝐴𝐶→=．3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量𝐴𝐵→在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则𝐴𝑃→•𝐴𝐵→的取值范围是．题型三.转换基底1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，𝐵𝐶→=2√3𝐵𝐷→，|𝐴𝐷→|＝1，则𝐴𝐶→•𝐴𝐷→=（）A．2√3B．√3C．√32D．﹣2√32．已知向量𝐴𝐵→与𝐴𝐶→的夹角为120°，且|𝐴𝐵→|=3，|𝐴𝐶→|=2，若𝐴𝑃→=𝜆𝐴𝐵→+𝐴𝐶→且𝐴𝑃→⊥𝐵𝐶→，则实数λ的值为（）A．37B．73C．712D．1273．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量𝑂𝑃→=𝑐→．若|𝑎→|＝3，|𝑏→|＝2，则𝑐⋅(𝑎→−𝑏→)的值为．题型四.数量积运算律求最值1．向量𝑎→，𝑏→的夹角为120°，|𝑎→|=|𝑏→|=1，|𝑐→|=2，则|𝑎→+2𝑏→+𝑐→|的最大值为（）A．2−√3B．2C．2+√3D．42．已知向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝5，|𝑏→|＝1且|𝑎→−4𝑏→|≤√21，则𝑎→•𝑏→的最小值为．3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若𝐵𝐷→⋅𝐴𝑀→=−3，则𝐵𝐴→⋅𝐵𝐶→的取值范围是．题型五.数量积坐标运算1．已知向量𝑎→=（2，1），𝑏→=（1，﹣1），𝑐→=（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（𝑎→−𝑏→）∥𝑐→，下列说法正确的是（）A．𝑎→与𝑏→的夹角为钝角B．向量𝑎→在𝑏→方向上的投影为√55C．2m+n＝4D．mn的最大值为22．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若𝐴𝐵→⋅𝐴𝐹→=√2，则𝐴𝐸→⋅𝐵𝐹→的值是．3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足𝐵𝐸→=2𝐸𝐶→，𝐴𝐸→⋅𝐵𝐷→=−23，则𝐴𝐹→⋅𝐸𝐹→的最小值为（）A．−23B．−43C．−15275D．−7336题型六.极化恒等式1．设向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→+𝑏→|=√10，|𝑎→−𝑏→|=√6，则𝑎→⋅𝑏→=（）A．﹣1B．1C．4D．﹣42．如图，△ABC是边长为2√3的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则𝐴𝑃→⋅𝐵𝑃→的取值范围是．3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则𝑃𝐴→⋅(𝑃𝐵→+𝑃𝐶→)的最小值为（）A．﹣3B．﹣6C．﹣2D．−83课后作业.数量积1．已知向量𝑎→、𝑏→满足|𝑎→|=1，|𝑏→|=2，|2𝑎→+𝑏→|=√3|2𝑎→−𝑏→|，则𝑎→与𝑏→夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°2．已知△ABC满足𝐴𝐵→2=2𝐵𝐴→⋅𝐶𝐴→，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．已知向量𝑎→≠𝑒→，|𝑒→|＝1，对任意t∈R，恒有|𝑎→−t𝑒→|≥|𝑎→−𝑒→|，则（）A．𝑎→⊥𝑒→B．𝑎→⊥（𝑎→−𝑒→）C．𝑒→⊥（𝑎→−𝑒→）D．（𝑎→+𝑒→）⊥（𝑎→−𝑒→）4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则𝐴𝐵→⋅𝐴𝐶→=（）A．34B．28C．﹣16D．﹣225．如图，在△ABC中，∠𝐵𝐴𝐶=𝜋3，𝐴𝐷→=2𝐷𝐵→，P为CD上一点，且满足𝐴𝑃→=𝑚𝐴𝐶→+12𝐴𝐵→，若AC＝3，AB＝4，则𝐴𝑃→⋅𝐶𝐷→的值为（）A．﹣3B．−1312C．1312D．1126．如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若𝐴𝐵→⋅𝐴𝐹→=√2，则𝐴𝐸→⋅𝐵𝐹→的值是．7．已知𝑎→、𝑏→均为单位向量，且𝑎→⋅𝑏→=0．若|𝑐→−4𝑎→|+|𝑐→−3𝑏→|=5，则|𝑐→+𝑎→|的取值范围是（）A．[3，√10]B．[3，5]C．[3，4]D．[√10，5]8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则𝐴𝑀→⋅𝐵𝑃→的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[−12，0]C．[−34，12]D．[−34，0]9．在平面内，定点A，B，C，D满足|𝐷𝐴→|＝|𝐷𝐵→|＝|𝐷𝐶→|＝2，𝐷𝐴→•𝐵𝐶→=𝐷𝐵→•𝐴𝐶→=𝐷𝐶→•𝐴𝐵→=0，动点P，M满足|𝐴𝑃→|＝1，𝑃𝑀→=𝑀𝐶→，则|𝐵𝑀→|2的最大值为．