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专题九《平面向量》讲义9.3三角形四心及面积问题题型一.三角形四心考点1.重心1．已知△ABC和点M满足𝑀𝐴→+𝑀𝐵→+𝑀𝐶→=0→．若存在实数m使得𝐴𝑀→=𝑚(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)成立，则m＝（）A．1B．12C．13D．142．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+λ（𝐴𝐵→|𝐴𝐵→|𝑠𝑖𝑛𝐵+𝐴𝐶→|𝐴𝐶→|𝑠𝑖𝑛𝐶）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得|𝑃𝐴→|2+|𝑃𝐵→|2+|𝑃𝐶→|2取得最小值的点，则点P是△ABC的（）A．重心B．外心C．垂心D．内心考点2.内心1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝜆(𝐴𝐵→|𝐴𝐵→|+𝐴𝐶→|𝐴𝐶→|)，𝜆∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的心．2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若𝑎𝑂𝐴→+𝑏𝑂𝐵→+𝑐𝑂𝐶→=0→，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心考点3.外心1．设P是△ABC所在平面内的一点，若𝐴𝐵→⋅(𝐶𝐵→+𝐶𝐴→)=2𝐴𝐵→⋅𝐶𝑃→，且|𝐴𝑃→|=|𝐶𝑃→|．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2．设P是△ABC所在平面内的一点，若𝐴𝐵→⋅(𝐶𝐵→+𝐶𝐴→)=2𝐴𝐵→⋅𝐶𝑃→且𝐴𝐵→2=𝐴𝐶→2−2𝐵𝐶→⋅𝐴𝑃→．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心考点4.垂心1．已知O为△ABC所在平面上一点，且𝑂𝐴→2+𝐵𝐶→2=𝑂𝐵→2+𝐶𝐴→2=𝑂𝐶→2+𝐴𝐵→2，则O一定为△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝜆(𝐴𝐵→|𝐴𝐵→|𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶+𝐴𝐶→|𝐴𝐶→|𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐶𝐴)，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心题型二.面积问题——奔驰定理1．已知点O为三角形ABC内一点，𝑂𝐴→+2𝑂𝐵→+3𝑂𝐶→=0→，则𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴𝑂𝐶=．2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且𝐴𝐷→=13𝐴𝐵→+12𝐴𝐶→，则𝑆△𝐵𝐶𝐷𝑆△𝐴𝐵𝐷=（）A．16B．13C．12D．233．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3𝐴𝑀→−𝐴𝐵→−𝐴𝐶→|=0，则△ABM与△ABC的面积之比值为．4．平面上O，A，B三点不共线，设𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→，则△OAB的面积等于（）A．√|𝑎→|2|𝑏→|2−(𝑎→⋅𝑏→)2B．√|𝑎→|2|𝑏→|2+(𝑎→⋅𝑏→)2C．12√|𝑎→|2|𝑏→|2−(𝑎→⋅𝑏→)2D．12√|𝑎→|2|𝑏→|2+(𝑎→⋅𝑏→)25．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足𝐴𝑃→=𝜆𝐴𝐵→+𝜇𝐴𝐶→（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．6．设P、Q为△ABC内的两点，且𝐴𝑃→=25𝐴𝐵→+15𝐴𝐶→，𝐴𝑄→=14𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A．45B．85C．43D．310