【新高考复习】专题10 数列 10.1等差数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题十《数列》讲义10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(4)前n项和公式：Sn＝na1＋an2――→an＝a1＋n－1dSn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(2)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的12.(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶＝anan＋1.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝．2．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．123．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．8题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{an}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．122．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−13𝑎11的值为（）A．17B．16C．15D．143．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：（1）数列{an}是递增数列；（2）数列{nan}是递增数列；（3）数列{𝑎𝑛𝑛}是递减数列；（4）数列{an+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2（n∈N*），则{an}的通项公式为（）A．an＝2nB．an＝2n﹣1C．an＝3n﹣2D．𝑎𝑛={1，𝑛=12𝑛，𝑛≥23．在数列{an}中，若an＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．452．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，𝑎1=−11，𝑆1010−𝑆88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣103．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知𝑆𝑛𝑇𝑛=𝑛2𝑛+1，则𝑎7𝑏7等于（）A．1321B．214C．1327D．827题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．162．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n为何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．3．（2014·江西）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．题型六.证明等差数列1．已知数列{an}满足𝑎1=35，𝑎𝑛=2−1𝑎𝑛−1(𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗)，数列{bn}满足𝑏𝑛=1𝑎𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)．（1）求证数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项．2．已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn=𝑛(𝑎𝑛−𝑎1)2．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；课后作业.等差数列1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．82．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值C．S4＝S9D．满足Sn＞0的n的最大值为124．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{an}的前n项和最大；当Sn＞0时n的最大值为．5．在数列{an}中，a2＝8，a5＝2，且2an+1﹣an+2＝an（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．906．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn=18（an+2）2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=12an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．