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专题十一《立体几何》讲义11.1空间几何体知识梳理.空间几何体1．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．1.简单几何体1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球▲图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环4．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3题型一.正方体的展开与折叠问题1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A．B．C．D．2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不相交的线段的对数为（）A．2B．3C．4D．53．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE题型二.多面体表面最短距离问题1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．2√3D．3√32．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（）cm．A．12B．13C．√61D．153．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离（用x表示）．题型三.截面问题1．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FGB．EF∥HGC．Ω是棱柱D．Ω是棱台2．（2018·全国1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．3√34B．2√33C．3√24D．√323．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．题型四.一般空间几何体的表面积与体积1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12√2πB．12πC．8√2πD．10π2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8𝜋5，则该圆锥的体积为（）A．16πB．8πC．16𝜋3D．8𝜋33．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为．4．已知边长为√3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则球O的表面积为．5．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）A．2B．1C．√2D．√226．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝cm2．7．已知正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为2cm和4cm，则该四棱台的体积为．题型五.三棱锥的表面积与体积1．（2019·全国3）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则四面体A﹣EFB的体积为（）A．√26B．√212C．√24D．√223．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A﹣BCD的体积是．4．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为．5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．题型六.空间几何体的最值问题1．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有个．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF+GH=12，则三棱锥E﹣FGH的体积最大值为．4．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，√2，𝑎，且长为a的棱与长为√2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A．√212B．√312C．√26D．√365．如图所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为棱AC的中点，点P是侧棱AA1上的动点，求△PBD面积的最大值．6．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（）A．12√3B．36C．24D．18√37．若一个圆锥的母线长为4，高为2，则过这个圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值是．8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）A．(0，√3510𝜋]B．[√3𝑆10𝜋，+∞)C．(√𝑆5𝜋，√3𝑆10𝜋]D．[√3𝑆10𝜋，√𝑆2𝜋)课后作业.空间几何体1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（）A．1：3B．1：1C．2：1D．3：12．已知底面半径为1，体积为√3𝜋的圆柱，内接于一个高为2√3圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（）A．8B．4√3C．4√2D．43．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变化范围是．4．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为（）A．13B．14C．12D．165．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面ABCD为矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，则EF＝c时，则𝑉𝐵−𝐶𝐷𝐸𝐹𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐷=2时，𝑏𝑐=（）A．12B．32C．23D．16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝4，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．163B．16C．16√2D．32