【新高考复习】专题12 空间向量在立体几何中的应用 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版

专题十二《空间向量在立体几何中的应用》讲义知识梳理.空间向量1．平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝03．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．4．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|5．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．6．利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB―→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO―→|＝|AB―→·n||n|.题型一.利用空间向量证明平行与垂直1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB=12PD＝1．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）证明：PC∥平面BAQ．2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．3．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．题型二.异面直线的夹角1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，AB＝2，AD＝2√2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为（）A．𝜋6B．𝜋4C．𝜋3D．𝜋22．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围是．3．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．题型三.线面角1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1的地面边长为a，侧棱长为√2𝑎，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．若直线l与平面α所成角为𝜋3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（）A．[0，23𝜋]B．[𝜋3，2𝜋3)C．[𝜋3，𝜋2]D．[𝜋3，2𝜋3]3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，∠𝐴𝐵𝐶=𝜋3，∠𝐵𝐶𝐴=𝜋2，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．题型四.二面角1．如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC=√2，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．2．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P﹣AC﹣B的正弦值是（）A．√6B．√427C．√77D．√73．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．题型五.空间中的距离1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点A到平面A1B1CD的距离为（）A．2√33B．√2C．2D．2√22．在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为．3．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为1和2，AB＝4．（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．题型六.空间向量综合——存在问题、折叠问题1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC=12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，AB＝2，EH与平面PAD所成最大角的正切值为√62，求三棱锥E﹣AFC的体积．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为√155，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．4．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若PB=√6，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为√155，若存在，求出𝑃𝑄𝑄𝐵的值；若不存在，说明理由．题型七.空间向量与立体几何选填综合1．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（）A．2B．3C．4D．52．如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是⊙O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为√7，则圆柱O1O2的高为，异面直线AC与BD所成角的余弦值为．3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为．4．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）A．5B．4C．4√2D．2√55．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A．√23B．√33C．23D．√536．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为7．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C．二面角A﹣B1C﹣B的正切值为√2D．四面体D1﹣AB1C的外接球的体积为√32𝜋8．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，则（）A．A1C⊥平面AMNB．二面角A1﹣MN﹣A的正切值为2√2C．三棱锥A1﹣AMN的内切球半径为12D．过直线BD与平面AMN平行的平面截该正方体所得截面的面积为18课后作业.空间向量1．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝3，CD＝2，BC=√3，E在AB上，且AD＝AE．将△ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PB＝PC，如图2．（1）证明：平面PDE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣PB﹣E的正弦值．2．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=12𝐴𝐷，G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，𝐴𝐷=2√3，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得𝐷′𝐵=√30．（Ⅰ）求证：当𝐴𝐹=√3时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为𝜋4．5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC中点，F是PC上的点．（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为15？若存在，请求出𝑃𝐹𝑃𝐶的值，若不存在，请说明理由．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在CD上，CE＝2ED＝2，且BE⊥CD．以BE为折痕把△CBE折起，使点C到达点F的位置，且∠FED＝60°．（Ⅰ）求证：平面FAD⊥平面ABED；（Ⅱ）若直线BF与平面ABED所成角的正切值为√155，求点A到平面BEF的距离．