【新高考复习】专题13解析几何 13.2圆的方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题十三《解析几何》讲义13.2圆的方程知识梳理.圆的方程1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F．2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r（1）圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.（2）有关弦长问题的2种求法几何法直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝l22＋d2代数法联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y23．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．题型一.圆的方程、轨迹方程1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．2．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝13．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；4．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；5．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且k1k2=−12，记点A的轨迹为E．（1）求E的方程；6．若𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=√2𝐵𝐶，则S△ABC的最大值．题型二.直线与圆的位置关系1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为．3．已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则C上各点到l距离的最小值为（）A．√2−1B．√2+1C．√2D．2√2题型三.切线问题1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．2．（2008•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．(𝑥−3)2+(𝑦−73)2=1B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．(𝑥−32)2+(𝑦−1)2=13．（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．4．（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[−12，12]C．[−√2，√2]D．[−√22，√22]5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（）A．[2√73，2√2）B．[2√143，2√2）C．[2√53，2√3）D．[2√33，2√5）6．（2002•北京）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．题型四.弦长问题1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√22B．√2C．√6D．2√62．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2√3，则k的取值范围是．3．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．2√5B．4√5C．6√3D．8√34．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为．题型五.圆与圆之间的位置关系1．（多选）以下四个命题表述正确的是（）A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3）B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+√2=0的距离都等于1C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线𝑥4+𝑦2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(14，12)2．已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2√2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离3．已知圆𝐶1：(𝑥−𝑎)2+(𝑦+2)2=4与圆𝐶2：(𝑥+𝑏)2+(𝑦+1)2=1相外切，则ab的最大值为（）A．2B．√17C．94D．44．已知圆𝐶1：(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=1，圆𝐶2：(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．5√2+4B．√2C．5√2D．√2+4题型六.直线与圆综合问题1．直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜12．过直线y＝x上一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的两条切线l1，l2，当l1，l2关于直线y＝x对称时，l1，l2的夹角的大小为．3．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2．则直线l的倾斜角的取值范围是．4．（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．45．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有𝑂𝐴→⋅𝑂𝐵→≥−2，那么k的取值范围是（）A．（√3，+∞）B．[√2，2√2）C．[√2，+∞）D．[√3，2√2）6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x−√3y+2＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|=√22|PO|，其中，点Q的坐标是Q（﹣1，0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）若在圆C上存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交不同两点A，B，求m的取值范围．并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．8．如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x+3y+4√2=0相切．（1）求⊙C的方程；（2）点P在直线x＝8上，过点P引⊙C的两条切线PA、PB，切点为A、B．①求四边形OAPB面积的最小值；②求证：直线AB过定点．9．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．10．（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．11．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．课后作业.直线与圆1．已知圆C的圆心在x轴上，点𝑀(0，√5)在圆C上，圆心到直线2x﹣y＝0的距离为4√55，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+y2＝3B．（x+2）2+y2＝9C．（x±2）2+y2＝3D．（x±2）2+y2＝92．已知动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足𝐶𝐵→=52𝐶𝐴→，若M是线段AB的中点，则𝑂𝐶→⋅𝑂𝑀→的值为（）A．3B．2√3C．2D．﹣33．已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1𝑎2+1𝑏2的最小值为（）A．3B．1C．49D．194．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3B．√212C．2√2D．25．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？6．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4，过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x+y﹣10＝0距离最大值为．7．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，2𝑡）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．8．（2015·全国1）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若𝑂𝑀→•𝑂𝑁→=12，其中O为坐标原点，求|MN|．9．已知点𝐴(0，2)，𝐵(0，12)，点P为曲线Γ上任意