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专题十三《解析几何》讲义13.3椭圆知识梳理.椭圆1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b离心率e＝caa，b，c的关系a2＝b2＋c2题型一.椭圆及其性质1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，𝐹(−2√5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为𝑥236+𝑦216=1．【解答】解：由题可知，c=2√5，过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|=2√5−t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(2√5)2−𝑡2=42−(2√5−𝑡)2，解得𝑡=6√55，∴|𝑃𝑀|=√(2√5)2−𝑡2=8√55，∴点P的坐标为（−6√55，8√55），设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0），则(−6√55)2𝑎2+(8√55)2𝑏2=1，化简得365𝑎2+645𝑏2=1，又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标准方程为𝑥236+𝑦216=1．故答案为：𝑥236+𝑦216=1．2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为√33．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为4√3，那么C的方程为（）A．𝑥23+𝑦2=1B．𝑥23+𝑦22=1C．𝑥212+𝑦24=1D．𝑥212+𝑦28=1【解答】解：如图，设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)．∵△ABF2周长为4√3，∴4a=4√3，得a=√3．又𝑒=𝑐𝑎=√33，∴c＝1．则b2＝a2﹣c2＝2．∴椭圆C的方程为：𝑥23+𝑦22=1．故选：B．3．（2019·全国3）设F1，F2为椭圆C：𝑥236+𝑦220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为（3，√15）．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：𝑥236+𝑦220=1的a＝6，b＝2√5，c＝4，e=𝑐𝑎=23，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+23m＝8，即m＝3，n=√15；6−23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，√15）．故答案为：（3，√15）．4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2的直线与C交于A，B两点．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则C的方程为（）A．𝑥22+𝑦2=1B．𝑥23+𝑦22=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥25+𝑦24=1【解答】解：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），设B点的坐标为（x，y），则由2|AF2|＝3|F2B|可得：𝐴𝐹2→=32𝐹2𝐵→，即（1，﹣b）=32(𝑥−1，𝑦)，解得x=53，y=−23𝑏，即B（53，−23𝑏），代入椭圆方程可得：259𝑎2+4𝑏29𝑏2=1，解得a2＝5，所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，故椭圆的方程为：𝑥25+𝑦24=1，故选：D．5．已知点A（1，1）而且F1是椭圆𝑥29+𝑦25=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6∴|PF1|＝6﹣|PF2|∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|）当点P位于P1时，|PA|﹣|PF2|的差最小，其值为﹣|AF2|=−√2此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6−√2；当点P位于P2时，|PA|﹣|PF2|的差最大，其值为|AF2|=√2此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6+√2．题型二.焦点三角形1．过椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为2a+2b．【解答】解：如图，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．故答案为：2a+2b．2．已知F1，F2是椭圆𝑥29+𝑦25=1的焦点，P在椭圆上，且∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，则点P到x轴的距离为5√36．【解答】解：由椭圆𝑥29+𝑦25=1可得：a＝3，b=√5，c=√𝑎2−𝑏2=2．设|PF1|＝m，|PF2|＝n．则m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncos𝜋3，可得：mn=203，∴𝑆△𝐹1𝐹2𝑃=12×2𝑐⋅|𝑦𝑃|=12mnsin𝜋3，∴2×2|yP|=203×√32，解得|yP|=5√36．故答案为：5√36．3．已知F是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[√32，1)B．(0，√32]C．[12，1)D．(0，12]【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，所以(|𝐴𝐹|+|𝐴𝐹′|)2−|𝐹𝐹′|2=3|𝐴𝐹|⋅|𝐴𝐹′|≤3(|𝐴𝐹|+|𝐴𝐹′|2)2，即14(|𝐴𝐹|+|𝐴𝐹′|)2≤|𝐹𝐹′|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，即14⋅4𝑎2≤4𝑐2，可得𝑒=𝑐𝑎≥12，所以椭圆的离心率𝑒∈[12，1)，故选：C．4．已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点．设线段NF1的中点为D，若𝑀𝐷→⋅𝑁𝐹1→=0，且𝑀𝐹→1∥𝐷𝐹2→，则椭圆C的离心率为（）A．13B．√33C．12D．√22【解答】解：∵𝑀𝐷→⋅𝑁𝐹1→=0，∴MD⊥NF1，又D为线段NF1的中点，∴|MF1|＝|MN|，∵𝑀𝐹→1∥𝐷𝐹2→，∴F2是MN的中点，则|MF2|＝|NF2|，因此MN⊥x轴，设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m，由|MF1|+|MF2|＝3m＝2a，得m=2𝑎3．在△MF1F2中，由勾股定理可得(2𝑎3)2+4𝑐2=(4𝑎3)2，整理可得，3c2＝a2，∴e=𝑐𝑎=√33（0＜e＜1）．故选：B．5．（2013·山东）椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左、右焦点分别是F1，F2离心率为√32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1𝑘𝑘1+1𝑘𝑘2为定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得𝑐2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，解得𝑦=±𝑏2𝑎，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2𝑏2𝑎=1．又𝑒=𝑐𝑎=√32，联立得{2𝑏2𝑎=1𝑎2=𝑏2+𝑐2𝑐𝑎=√32解得{𝑎=2，𝑏=1𝑐=√3，∴椭圆C的方程为𝑥24+𝑦2=1．（2）如图所示，设|PF1|＝t，|PF2|＝n，由角平分线的性质可得𝑡𝑛=|𝑀𝐹1||𝐹2𝑀|=𝑚+√3√3−𝑚，又t+n＝2a＝4，消去t得到4−𝑛𝑛=√3+𝑚√3−𝑚，化为𝑛=2(√3−𝑚)√3，∵a﹣c＜n＜a+c，即2−√3＜𝑛＜2+√3，也即2−√3＜2(√3−𝑚)√3＜2+√3，解得−32＜𝑚＜32．∴m的取值范围；(−32，32)．题型三.椭圆第二定义——焦半径公式1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（）A．√23B．23C．12D．√22【解答】解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①由圆锥曲线统一定义得：𝑒=𝐴𝐹𝐴𝐶=𝐵𝐹𝐵𝐷，∵FA＝2FB，∴AC＝2BD直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD=12𝐴𝐶⋯②①、②比较，可得AB＝AC，又∵𝐴𝐹=23𝐴𝐵∴𝑒=𝐴𝐹𝐴𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐵=23故所求的离心率为23．故选：B．2．椭圆𝑥24+𝑦2=1两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（√3，0），F2（−√3，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→=（−√3−2cosθ，﹣sinθ）•（√3−2cosθ，﹣sinθ）＝4cos2θ﹣3+sin2θ＝3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．3．已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为2−√32，点P为椭圆上的任意一点，则1|𝑃𝐹1|+1|𝑃𝐹2|的取值范围为（）A．[1，2]B．[√2，√3]C．[√2，4]D．[1，4]【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），又F（﹣c，0），B（﹣a，0），∴𝑆△𝐹1𝐴𝐵=12×(𝑎−𝑐)×1=2−√32，又a2﹣c2＝1，∴a＝2，c=√3．∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴1|𝑃𝐹1|+1|𝑃𝐹2|=4|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=4|𝑃𝐹1|(4−𝑃𝐹1)，∵2−√3≤|PF1|≤2+√3，|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．∴1≤4|𝑃𝐹1|(4−𝑃𝐹1)≤4．故选：D．题型四.离心率之焦点三角形1．设椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为√33．【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2