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专题十三《解析几何》讲义13.4双曲线知识梳理.双曲线1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2题型一.双曲线及其性质1．过双曲线𝑥24−𝑦23=1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为8．【解答】解：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|＝2a，|NF2|﹣|NF|＝2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|＝4a＝8．答案：8．2．设双曲线𝐶：𝑥28−𝑦2𝑏2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（）A．8√2B．8C．4√2D．4【解答】解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4√2，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4√2，∴|F2M|＝|F1M|+4√2，|F1N|＝|F2N|+4√2，∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8√2，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8√2．故选：A．3．过双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是x2−𝑦23=1．【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由x＝a和一条渐近线y=𝑏𝑎x，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|＝|OF|＝c＝2，即有√(𝑎−𝑐)2+𝑏2=2，c2＝a2+b2＝4，解得a＝1，b=√3，即有双曲线的方程为x2−𝑦23=1，故答案为：x2−𝑦23=1．4．P是双曲线𝑥29−𝑦216=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为9．【解答】解：双曲线𝑥29−𝑦216=1中，∵a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|＝6+1+2＝9．故答案为：9．5．已知F是双曲线C：x2−𝑦28=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6√6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12√6．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为𝑥−3+𝑦6√6=1与x2−𝑦28=1联立可得y2+6√6y﹣96＝0，∴P的纵坐标为2√6，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×6√6−12×6×2√6=12√6．故答案为：12√6．题型二.焦点三角形1．已知点F1，F2分别为双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为92．【解答】解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，则△BF1F2的面积为S△𝐴𝐵𝐹2−S△𝐴𝐹1𝐹2=12×3×4−12×1×3=92．故答案为：92．2．已知F1，F2是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵M是线段PF1的中点，∴|𝑀𝐹1|=|𝑃𝑀|=12|𝑃𝐹1|，∵O是线段F1F2的中点，∴|𝑀𝑂|=12|𝑃𝐹2|，∴12|𝑃𝐹1|−12|𝑃𝐹2|=𝑎⇒|𝑀𝐹1|−|𝑂𝑀|=𝑎⇒|𝑂𝑀|=|𝑀𝐹1|−𝑎，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．故选：B．3．已知双曲线C：𝑥22−𝑦2=1的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|•|MF2|的最小值为（）A．1B．√2C．2D．3【解答】解：根据题意可得F1（−√3，0），F2（√3，0），设M（x，y），其中x（﹣∞，−√2]∪[√2，+∞），则y2=𝑥22−1，则|MF1|•|MF2|=√(𝑥+√3)2+𝑦2•√(𝑥−√3)2+𝑦2=√(𝑥+√3)2+𝑥22−1•√(𝑥−√3)2+𝑥22−1=√(32𝑥2−2)2，因为x∈（﹣∞，−√2]∪[√2，+∞），所以32𝑥2≥3，则当x＝±√2时，|MF1|•|MF2|取最小值，最小值=√(3−2)2=1，故选：A．4．从双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．c﹣aB．b﹣aC．a﹣bD．c﹣b【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|=12|PF′|=12（|PF|﹣2a）=12|PF|﹣a＝|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，∴|FT|=√丨𝑂𝐹丨2−丨𝑂𝑇丨2=b．∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．故选：B．题型三.渐近线性质1．过双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．𝑥212−𝑦24=1B．𝑥27−𝑦29=1C．𝑥28−𝑦28=1D．𝑥24−𝑦212=1【解答】解：∵以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），∴半径R＝c＝4，则圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝16，设B（a，0），y=𝑏𝑎⋅𝑎=b，即A（a，b），则（a﹣4）2+b2＝16，即a2﹣8a+16+b2＝16，即c2﹣8a＝0，即8a＝16，则a＝2，b2＝16﹣4＝12，则双曲线C的方程为𝑥24−𝑦212=1，故选：D．2．设F1，F2是双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为√3．【解答】解：双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=𝑏𝑎𝑥，∴点F2到渐近线的距离d=𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=𝑏，即|PF2|＝b，∴|OP|=√|𝑂𝐹2|2−|𝑃𝐹2|2=√𝑐2−𝑏2=a，cos∠PF2O=𝑏𝑐，∵|PF1|=√6|OP|，∴|PF1|=√6a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×𝑏𝑐=4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2＝c2，得e=√3，故答案为：√3．3．已知斜率为1的直线l与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3xB．y＝±√3xC．y＝±13𝑥D．y＝±√33x【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则𝑥12𝑎2−𝑦12𝑏2=1，𝑥22𝑎2−𝑦22𝑏2=1两式相减可得：(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)𝑎2−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)𝑏2=0，∵斜率为1的直线l与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），∴k•kOM=𝑏2𝑎2=3，∴y=±𝑏𝑎x＝±√3x．故选：B．4．已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：依题意，斜率为√3的直线l过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率𝑏𝑎必大于√3，即𝑏𝑎＞√3，因此该双曲线的离心率e=𝑐𝑎=√1+(𝑏𝑎)2＞√1+3=2．故答案为：（2，+∞）．题型四.构建等量关系求离心率1．设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为√2．【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝±𝑏2𝑎，设B（c，𝑏2𝑎），C（c，−𝑏2𝑎），则直线A1B的斜率k1=𝑏2𝑎−0𝑐−(−𝑎)=𝑏2𝑎(𝑐+𝑎)，直线A2C的斜率k2=−𝑏2𝑎−0𝑐−𝑎=−𝑏2𝑎(𝑐−𝑎)，由A1B⊥A2C，则k1×k2＝﹣1，即𝑏2𝑎(𝑐+𝑎)×𝑏2𝑎(𝑐−𝑎)=1，则𝑏2𝑎2=1，双曲线的离心率e=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=√2，故答案为：√2．2．过双曲线M：x2−𝑦2𝑏2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（）A．√10B．√5C．√103D．√52【解答】解：过双曲线𝑀：𝑥2−𝑦2𝑏2=1的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y＝x+1，若l与双曲线M的两条渐近线𝑥2−𝑦2𝑏2=0分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组{𝑥2−𝑦2𝑏2=0𝑦=𝑥+1代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，∴{𝑥1+𝑥2=2𝑏2−1𝑥1𝑥2=11−𝑏2，∴x1+x2＝﹣2x1x2，又|AB|＝|BC|，则B为AC中点，2x1＝﹣1+x2，代入解得{𝑥1=−14𝑥2=1