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专题十三《解析几何》讲义13.6弦长面积知识梳理.弦长面积1．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝1＋k2|x1－x2|；②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)；2．弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．题型一.轨迹方程1．已知O为坐标原点，圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0，定点F（﹣1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；【解答】解：（Ⅰ）由题意知|MQ|+|FQ|＝|MN|＝4，又|MF|＝2＜4，∴由椭圆定义知动点Q的轨迹为以M、F为焦点、长轴长为4的椭圆，故2a＝4，2c＝2，∴曲线C的方程是𝑥24+𝑦23=1．2．从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P．（Ⅰ）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；【解答】解：（Ⅰ）设抛物线y2＝4x上的任意一点为（x0，y0），垂线段的中点为（x，y），则{𝑥=𝑥0𝑦=𝑦02，即{𝑥0=𝑥𝑦0=2𝑦，代入抛物线方程，可得（2y）2＝4x，即y2＝x．故曲线P的方程为y2＝x，曲线P是焦点为（14，0）的抛物线；3．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足𝑂𝑀→=12(𝑂𝑃→+𝑂𝐷→)的动点M的轨迹为C．（1）求点M的轨迹C的方程．【解答】解：（1）点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足𝑂𝑀→=12(𝑂𝑃→+𝑂𝐷→)的动点M的轨迹为C．设点M（x，y），，D（x0，0）．则{𝑥=𝑥0𝑦=12𝑦0，由于𝑥02+𝑦02=4，整理得𝑥24+𝑦2=1．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/2122:20:59；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067题型二.中点弦——点差法1．已知：椭圆𝑥216+𝑦24=1，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【解答】解：（1）设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），可得：𝑥1216+𝑦124=1，𝑥2216+𝑦224=1，相减可得：(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)16+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)4=0，把𝑥1+𝑥22=2，𝑦1+𝑦22=−1，k=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2代入可得：k=12．∴以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程为：y+1=12（x﹣2），化为：x﹣2y﹣4＝0．（2）设直线方程为：y＝2x+m，弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x，y）．联立{𝑦=2𝑥+𝑚𝑥216+𝑦24=1，化为：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化为：m2＜68．∴x1+x2=−16𝑚27=2x，化为：x=−8𝑚17．y＝2×(−8𝑚17)+m=𝑚17．∴y=−18x(−16√1717＜𝑥＜16√1717)．2．已知斜率为k1（k1≠0）的直线l与椭圆𝑥2+𝑦29=1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2＝（）A．﹣3B．−13C．−19D．﹣9【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则C（𝑥1+𝑥22，𝑦1+𝑦22），∴𝑥12+𝑦129=1，𝑥22+𝑦229=1，∴𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥22=−9，又𝑘1=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2，𝑘2=𝑦1+𝑦22−0𝑥1+𝑥22−0=𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2，∴𝑘1𝑘2=𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥22=−9，故选：D．3．设F1，F2分别为椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M．若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为（）A．√3−12B．√3−13C．√5−12D．√22【解答】解：F1、F2分别是椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx﹣ay＝ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x＝c，MF1的方程y=−𝑎𝑏(𝑥+𝑐)，可得M（c，−2𝑎𝑐𝑏），MF1的中点为（0，−𝑎𝑐𝑏），代入直线bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e=𝑐𝑎＞1，可得e2+e﹣1＝0，解得e=√5−12．故选：C．题型三.弦长问题1．已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)=1的离心率为√63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2√2．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为√5，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得：𝑐𝑎=√63，12•2cb＝2√2，a2＝b2+c2．联立解得：a2＝6，b2＝2，c＝2．∴椭圆的方程为：𝑥26+𝑦22=1．（2）设直线l方程为：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为：M（x0，y0）．联立{𝑦=𝑘(𝑥−2)𝑥2+3𝑦2=6，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2=12𝑘21+3𝑘2，x1x2=12𝑘2−61+3𝑘2，|AB|=√1+𝑘2|x1﹣x2|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=2√6(1+𝑘2)1+3𝑘2．∴x0=6𝑘21+3𝑘2，点M到直线x＝1的距离为d＝|x0﹣1|＝|6𝑘21+3𝑘2−1|=|3𝑘2−1|1+3𝑘2．以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为√5，得(|𝐴𝐵|2)2−d2=(√52)2，∴[√6(1+𝑘2)1+3𝑘2]2−(3𝑘2−11+3𝑘2)2=(√52)2，解得k＝±1．∴直线l的方程为：y＝±（x﹣2）．2．（2014·陕西）已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）经过点（0，√3），离心率为12，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=−12x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足|𝐴𝐵||𝐶𝐷|=5√34，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得{𝑏=√3𝑐𝑎=12𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑏=√3，c＝1，a＝2．∴椭圆的方程为𝑥24+𝑦23=1．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1．∴圆心到直线l的距离d=2|𝑚|√5，由d＜1，可得|𝑚|＜√52．（*）∴|CD|＝2√1−𝑑2=2√1−4𝑚25=2√5√5−4𝑚2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立{𝑦=−12𝑥+𝑚𝑥24+𝑦23=1，化为x2﹣mx+m2﹣3＝0，可得x1+x2＝m，𝑥1𝑥2=𝑚2−3．∴|AB|=√[1+(−12)2][𝑚2−4(𝑚2−3)]=√152√4−𝑚2．由|𝐴𝐵||𝐶𝐷|=5√34，得√4−𝑚25−4𝑚2=1，解得𝑚=±√33满足（*）．因此直线l的方程为𝑦=−12𝑥±√33．3．如图，已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率为12，过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|＝7．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当直线AB的斜率为0时，直线CD垂直于x轴，∴|AB|＝2a，|𝐶𝐷|=2𝑏2𝑎，即|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|=2𝑎+2𝑏2𝑎=7，∵𝑒=𝑐𝑎=12，且a2＝b2+c2，解得：𝑎=2，𝑏=√3，所以椭圆方程为𝑥24+𝑦23=1；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，|AB|+|CD|＝7；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），则直线CD的方程为𝑦=−1𝑘(𝑥−1)，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴𝑥1+𝑥2=8𝑘23+4𝑘2，𝑥1𝑥2=4𝑘2−123+4𝑘2，∴|𝐴𝐵|=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=12(𝑘2+1)3+4𝑘2，同理，|𝐶𝐷|=12(1𝑘2+1)3+4𝑘2=12(𝑘2+1)3𝑘2+4，∴|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|=12(𝑘2+1)3+4𝑘2+12(𝑘2+1)3𝑘2+4=84(𝑘2+1)2(3+4𝑘2)(3𝑘2+4)，令t＝k2+1，则t＞1，∴|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|=84𝑡2(4𝑡−1)(3𝑡+1)=84𝑡212𝑡2+𝑡−1=84−(1𝑡−12)2+494，∵t＞1，∴0＜1𝑡＜1，∴12＜−(1𝑡−12)2+494≤494，∴449≤1−(1𝑡−12)2+494＜112，∴487≤84−(1𝑡−12)2+494＜7，∴487≤|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|＜7，综合①②可知，|AB|+|CD|的取值范围为：[487，7]．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/2122:29:42；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067题型四.面积问题1．已知直线l与直线x+y﹣1＝0垂直，其纵截距b=−√3，椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且与直线l相切．（1）求直线l，椭圆C的方程；（2）过F1作两条互相垂直的直线l1、l2，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵直线l与直线x+y﹣1＝0垂直，其纵截距b=−√3，∴直线l的方程为y＝x−√3，设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，a＞b＞0，由{𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑦=𝑥−√3，得(𝑎2+𝑏2)𝑥2−2√3𝑎2𝑥+3𝑎2−𝑎2𝑏2=0，∴△＝（﹣2√3𝑎2）2﹣4（a2+b2）（3a2﹣a2b2）＝0，即a2+b2＝3，又∵焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），∴a2﹣b2＝1，联立上式解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆方程为𝑥22+𝑦2=1．（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，S四边形PMQN=|𝑃𝑄|⋅|𝑀𝑁|2=2√2×2√1−122=2，若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为−1𝑘，直线PQ的方程为y＝kx+k，P（x1，y1），Q（x2，y2），由{𝑥22+𝑦2=1𝑦=𝑘𝑥+𝑘，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，则𝑥1+𝑥2=−4𝑘22𝑘2+1，𝑥1𝑥2=2𝑘2−22𝑘2+1，∴|PQ|=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=12𝑘2+1√(1+𝑘2)[16𝑘4−8(𝑘2−1)(2𝑘2+1)]＝2√2•𝑘2+12𝑘2+1，同理，得|MN|＝2√2•𝑘2+12