【新高考复习】专题14计数原理 14.2二项式定理 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版

专题十四《计数原理》讲义14.2二项式定理知识梳理.二项式定理1.二项式定理的概念:(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，Cnn.2.展开式中二项式系数的性质:(1)mnmnnCC(2)11mmmnnnCCC(3)当12nr时，1;rrnnCC当12nr时，1rrnnCC(4)01nnnnCCC2n3．赋值法求展开式系数和二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．4．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．题型一.二项式展开后的某项1．二项式(2𝑥−1√𝑥3)8的展开式中，常数项为（用数字作答）2．二项式(√𝑥+1√𝑥3)40的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项3．(√𝑥−𝑥2)8展开式中二项式系数最大的项为．（求出具体的项）4．（x√𝑥+1𝑥4）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第项．题型二.多项展开式中项的问题1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为．2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（）A．10B．20C．30D．603．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30B．120C．240D．4204．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，则a3＝（）A．64B．48C．﹣48D．﹣64题型三.二项式系数和、展开式系数和1．已知二项式(𝑥+2𝑥)𝑛的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝，展开式中的常数项是．2．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为．3．若（1𝑥+x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为，展开式中的常数项为．4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a2＝（）A．20B．30C．60D．80题型四.二项式定理综合1．若二项式（2﹣x）n（n∈N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则𝑏𝑎+𝑎𝑏的最小值是（）A．2B．136C．73D．1562．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则x＝．3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为（结果用数值表示）4．若(1−𝑥)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝（）A．0B．1C．32D．﹣1题型五.杨辉三角1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．12345…20132014201520163579…40274029403181216…805680602028…16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×220142．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1𝑛（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11=12+12，12=13+16，13=14+112，…，则第9行第4个数（从左往右数）为．课后作业.二项式定理1．在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（）A．28B．36C．56D．843．已知(𝑥−13𝑥)𝑛的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是．4．(𝑥−𝑦2𝑥)(𝑥+𝑦)5的展开式中，x3y3的系数为．5．（x2﹣3x+4𝑥）（1−1√𝑥）5的展开式中常数项为（）A．﹣30B．30C．﹣25D．256．已知（1+x）6＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a6（1﹣x）6，则下列选项正确的有（）A．a0＝1B．a6＝1C．a0+a1+…+a6＝64D．a1+a3+a5＝﹣364