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专题十五《概率与分布列》讲义15.4正态分布题型一.正正态分布1．（2017•宝鸡三模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值等于（）A．53B．73C．3D．52．（2018春•清远期末）设两个正态分布N1（μ1，σ12）和N2（μ2，𝜎22）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ23．（2021春•沈阳期末）设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数𝑥，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：√150≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．6．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得𝑥=116∑16𝑖=1𝑥𝑖=9.97，s=√116∑16𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2=√116(∑16𝑖=1𝑥𝑖2−16𝑥2)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．用样本平均数𝑥作为μ的估计值𝜇̂，用样本标准差s作为σ的估计值𝜎̂，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．题型二.分布列综合问题1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如表：n[0，3）[3，6）[6，9）[9，12）[12，15）[15，18）男同学人数715111221女同学人数51320932若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．3．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：长度（单位：mm）[23，25）[25，27）[27，29）[29，31）[31，33）[33，35）[35，37）[37，39]频数4916241814105（1）求这100个样本数据的平均数𝑥和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2）其中μ≈𝑥，σ2＝s2①利用正态分布，求P（X＞μ﹣2σ）；②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值yi（i＝1，2…，20），数据如下：y1y2y3y4y5y6y7y8y9y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8y11y12y13y14y15y16y17y18y19y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若20个样本中纤维均值Y＞μ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞μ﹣2σ）即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9543，√12.28≈3.504课后作业.正态分布1．随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝0.2，P（2＜ξ＜6）＝0.6，则μ＝．2．已知随机变量X～N（0.4，σ12），Y～N（0.8，σ22），其正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8）B．P（X≥0）＝P（Y≥0）C．X的取值比Y的取值更集中于平均值D．两支正态曲线与x轴之间的面积均为13．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（44，22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是（）A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到4．某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N（69，49），现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名学生成绩的平均值𝑥（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）求这50名学生成绩在[80，100]内的人数；（Ⅲ）现从该校50名考生成绩在[80，100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6828P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．