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专题十五《概率与分布列》讲义15.4正态分布题型一.正正态分布1．（2017•宝鸡三模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值等于（）A．53B．73C．3D．5【解答】解：∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3+a+2＝6，∴a=73．故选：B．2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N1（μ1，σ12）和N2（μ2，𝜎22）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，∴σ1＜σ2故选：A．3．（2021春•沈阳期末）设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）【解答】解：∵由图可知，μ1＜0＜u2，σ1＜σ2，∴P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故A选项错误，由图可得，P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故B选项错误，由图可得，对任意实数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），而P（X≤t）＝1﹣P（X≥t），P（Y≤t）＝1﹣P（Y≥t），故P（X≥t）＜P（Y≥t），故C选项正确，D选项错误．故选：ABD．4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）𝑃(80≤𝑋＜85)=12−𝑃(𝑋＜75)=0.2⋯（2分）P（85≤X＜95）＝0.3﹣0.1＝0.2，P（95≤X＜100）＝0.1，…（4分）所以所求概率为𝑃=𝐴33×0.2×0.2×0.1=0.024⋯（6分）（2）ξ的可能值为0，1，2，3．则𝑃(𝜉=𝑘)=𝐶3𝑘(0.4)𝑘(0.6)3−𝑘，𝑘=0，1，2，3．，𝑃(𝜉=0)=𝐶30(0.4)0(0.6)3=0.216，𝑃(𝜉=1)=𝐶31(0.4)1(0.6)2=0.432，𝑃(𝜉=2)=𝐶32(0.4)2(0.6)1=0.288，𝑃(𝜉=3)=𝐶33(0.4)3(0.6)0=0.064ξ0123P0.2160.4320.2880.064E（ξ）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2…（12分）5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数𝑥，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：√150≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差s2分别为：𝑥=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．6．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得𝑥=116∑16𝑖=1𝑥𝑖=9.97，s=√116∑16𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2=√116(∑16𝑖=1𝑥𝑖2−16𝑥2)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．用样本平均数𝑥作为μ的估计值𝜇̂，用样本标准差s作为σ的估计值𝜎̂，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，由题意知X～B（16，0.0026），因为P（X＝0）=𝐶160×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，因为X～B（16，0.0026），所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(𝜇̂−3𝜎̂，𝜇̂+3𝜎̂)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(𝜇̂−3𝜎̂，𝜇̂+3𝜎̂)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由𝑥=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为𝜇̂=9.97，σ的估计值为𝜎̂=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(𝜇̂−3𝜎̂，𝜇̂+3𝜎̂)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(𝜇̂−3𝜎̂，𝜇̂+3𝜎̂)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115（16×9.97﹣9.22）＝10.02，因此μ的估计值为10.02．∑16𝑖=1𝑥𝑖2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除(𝜇̂−3𝜎̂，𝜇̂+3𝜎̂)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为√0.008≈0.09．题型二.分布列综合问题1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如表：n[0，3）[3，6）[6，9）[9，12）[12，15）[15，18）男同学人数715111221女同学人数51320932若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于12次的学生有8人，∴该校学生中“社会实践标兵”有：1600×8100=128人．（Ⅱ）8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人，（i）𝐴为“抽取的4位同学全是女同学”，∴P（𝐴）=𝐶54𝐶84=114，∴P（A）＝1﹣P（𝐴）＝1−114=1314．（ii）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）=𝐶54𝐶84=114，P（X＝1）=𝐶31𝐶53𝐶84=37，P（X＝2）=𝐶32𝐶52𝐶84=37，P（X＝3）=𝐶33𝐶51𝐶84=114．则X的分布列为：X0123P1143737114E（X）=0×114+1×37+2×37+3×114=32．2．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1解得a＝0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；则ξ～B（3，0.2），ξ＝0，1，2，3；P（ξ＝0）＝C30×0.83=64125；P（ξ＝1）＝C31×0.82×0.2=48125；P（ξ＝2）＝C32×0.8×0.22=12125；P（ξ＝3）＝C33×0.23=1125，∴ξ的分布列为：ξ0123P6412548125121251125Eξ＝3×0.2＝0.6，Dξ＝3×0.2×0.8＝0.48．3．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：长度（单位：mm）[23，25）[25，27）[27，29）[29，31）[31，33）[33，35）[35，37）[37，39]频数4916241814105（1）求这100个样本数据的平均数𝑥和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2）其中μ≈𝑥，σ2＝s2①利用正态分布，求P（X＞μ﹣2σ）；②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值yi（i＝1，2…，20），数据如下：y1y2y3y4y5y6y7y8y9y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8y11y12y13y14y15y16y17y18y19y2030.6