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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）专题06函数的应用一、单选题1.已知k∈R，函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx的定义域为R，若函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜﹣2B．k＜﹣7或k＞﹣2C．﹣7＜k＜0D．﹣2＜k＜0【答案】A【分析】令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，问题转化为g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，分别求出KOP，KOQ，求出k的范围即可．【解答】解：令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，画出函数的图象，如图示：，∵函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，∴g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，由图可知P（2，4），Q（4，28），故KOP＝2，KOQ＝7，故2＜﹣k＜7，故﹣7＜k＜﹣2，故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系2.已知f（x）＝，则f（x）≥3的解集为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]，∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）【答案】C【分析】利用不等式，通过x的范围结合分段函数，转化求解即可．【解答】解：f（x）≥3的解集满足：当x≥2时，2ex﹣1+1≥3，解得x≥1，所以x≥2；当x＜2时，由，可得，解得x≤﹣2，综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．【知识点】分段函数的应用3.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从（）天后该国总感染人数开始超过100万．（lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990）（）A．43B．45C．47D．49【答案】C【分析】由题意可得x天后总感染人数为200×1.2x，由200×1.2x＞1000000求解x的范围得结论．【解答】解：设y为x天后该国的总感染人数，则y＝200×1.2x，令200×1.2x＞1000000，两边取对数得：xlg1.2＞lg5000，即xlg1.2＞3+lg5，解得x≥47．故选：C．【知识点】根据实际问题选择函数类型4.已知f（x）＝，则f（4）+f（﹣4）＝（）A．63B．83C．86D．91【答案】C【分析】根据题意，由函数的解析式可得则f（﹣4）＝f（5），f（4）＝f（7），进而计算f（5）、f（7）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，当x＜5时，f（x）＝f（x＝3），则f（﹣4）＝f（﹣1）＝f（2）＝f（5），f（4）＝f（7），当x≥5时，f（x）＝2x﹣x2，则f（5）＝25﹣52＝7，f（7）＝27﹣72＝79，故f（4）+f（﹣4）＝86，故选：C．【知识点】函数的值、分段函数的应用5.函数f（x）＝，对∀x∈R，f（x）+1≥0，则a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣，1）【答案】C【分析】判断函数为偶函数，求出x≥0时的最小值，由最小值大于等于﹣1求解a的范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），则函数为偶函数，则问题只需考虑x≥0时即可．当0≤x＜2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（0）＝﹣a；当x≥2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（2）＝0．要使∀x∈R，f（x）+1≥0，则只需﹣a+1≥0即可，∴a≤1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故选：C．【知识点】分段函数的应用6.已知函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则（）+（）+（）的取值范围是（）A．（，）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）【答案】A【分析】由函数解析式作出图象，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把（）+（）+（）转化为关于t的函数求解．【解答】解：画出分段函数f（x）＝的图象如图，令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），则（）+（）+（）＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，又t∈（0，），∴（）+（）+（）∈（，）．故选：A．【知识点】分段函数的应用7.已知函数f（x）＝2k（x﹣1）ex（k＜1）的图象与函数g（x）＝x2的图象有且仅有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，0]C．（0，+∞）D．（0，1]【答案】A【分析】令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），根据条件可知F（x）有两个不同的零点，然后分k＜0，k＝0和0＜k＜1三种情况，求出k的取值范围．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），则F（x）＝2k（x﹣1）ex﹣x2，∵f（x）和g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，∴F（x）有两个不同的零点，又F′（x）＝2kxex﹣2x＝2x（kex﹣1），当k＜0时，F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，且F（0）＝﹣2k＞0，∴F（x）图象的左右两边向下无限延伸，故此时F（x）有两个零点，∴k＜0，满足题意；当k＝0时，F（x）＝﹣x2只有一个零点，不滿足题意；当0＜k＜1时，＞0在（上单调递增，且F（0）＝﹣2k＜0，易知F（x）只有一个零点，不满足题意；综上，k的取值范围是（﹣∞，0）．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系8.以下函数在区间（0，）上必有零点的是（）A．y＝xB．y＝3C．y＝ln（x+）D．y＝2x+1【答案】C【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，）上有没有零点，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，对于B，y＝＝，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，对于C，y＝ln（x+），当x＝时，y＝ln1＝0，区间（0，）上有零点，符合题意，对于D，y＝2x+1，在区间（0，）有y＞0恒成立，在区间（0，）上没有零点，不符合题意，故选：C．【知识点】函数的零点、函数零点的判定定理9.已知a＞0，函数f（x）＝2eax﹣x，若函数F（x）＝f（f（x））﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，]C．（0，）D．[，]【答案】C【分析】根据题意可得函数F（x）＝2af（x）﹣2eax，问题可以转化为f（x）＝x有两个解，即a＝恰有两个解，记函数g（x）＝，对g（x）求导，分析单调性，值域，进而可得结论．【解答】解：因为函数F（x）＝f（f（x））﹣x＝2af（x）﹣f（x）﹣x＝2af（x）﹣2eax，因此F（x）＝0，即eaf（x）＝eax，即af（x）＝ax，又a＞0，所以函数F（x）恰有两个零点，即f（x）＝x有两个解，即eax＝x恰有两个解，即a＝恰有两个解，记函数g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得x＞e，g（e）＝＝，所以g（x）在（0，e）上单调递增，值域为（﹣∞，），在（e，+∞）上单调递减，值域为（0，），所以a＝恰有两个解，a∈（0，），故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系10.已知函数下列关于函数y＝f（f（x））﹣2的零点个数判断正确的是（）A．当a＞0时，至少有2个零点B．当a＞0时，至多有7个零点C．当a＜0时，至少有4个零点D．当a＜0时，至多有4个零点【答案】B【分析】画出f（x）的图象，再分a＞0，a＜0两种情况分析复合函数的零点个数即可．【解答】解：对于y＝x3﹣3x，x≤0，y′＝3x2﹣3，令y′＝0，可得x＝±1，故y＝x3﹣3x，x≤0在x＝﹣1处取最大值2．①当a＞0时：要取得最少的零点个数，则a＞1，此时x+＞2．（x＞0）此时函数图象如图．故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，故f（x）＝﹣1，由图得y＝f（f（x））﹣2零点个数为1．故A错误．要取得最多的零点个数，则此时0＜a＜1，此时x+＜2，（x＞0）．如图故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，所以f1（x）＝﹣1，f2（x）＝t1，f3（x）＝t2．其中t2，t1＜，∴f1（x）＝﹣1有一根，f2（x）＝t1最多2个根，f3（x）＝t2．最多有4个根，一共最多有7个零点．故B正确．②当a＜0时，函数y＝x+为增函数，画出图象有令y＝f（f（x））﹣2＝0有f1（x）＝﹣1，f2（x）＝t，其中t+＝2即t2﹣2t+a＝0，由图知t＞0，故t＝1+＞2．故f1（x）＝﹣1有2个零点，f2（x）＝t有一个零点．故一共有3个零点．所以C，D错误．故选：B．【知识点】函数的零点与方程根的关系11.已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）【答案】C【分析】通过设t＝|ax﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k可换元为h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1，然后分类讨论函数零点的情况，从而得到实数k的取值范围．【解答】解：令t＝|ax﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．D．【答案】A【分析】由于f（x）有两个零点，可得f（﹣lna）＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．利用导数研究其单调性即可得出a的范围．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．进而得出．【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．令f′（x）＝0，∴ex＝，解得x＝﹣lna．∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a×+（a﹣2）×+lna＝1﹣+lna＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．u′（a）＝+＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜a＜1．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴满足函数f（x）有两个零点．∴a的取值范围为（0，1），故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、多选题13.已知函数f（x）＝2e﹣|x﹣1|，函数g（x）满足g（x）＝﹣g（x+1），且当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝﹣x2+1，那么（）A．f（x）在R上关于直线x＝1对称B．当x＞0时，f（x）单调递减C．当x∈[﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）有6个零点D．当x∈[﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6【答案】ACD【分析】根据f（x），g（x）的解析式，结合选项，逐