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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点01集合考点01集合的含义例1.下列四个说法中正确的个数是（）①集合N中最小数为1；②若a∈N，则﹣a∉N；③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】直接由元素与集合的关系逐一核对4命题得答案．【解答】解：①集合N中的最小数为0，∴①错误；②0∈N，则﹣0∈N，∴②错误；③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2，错误，当a＝b＝0时，a+b＝0；④所有小的正数组成一个集合错误，违背集合中元素的确定性；故选：A．【知识点】集合的含义练习：1.集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据题意，写出集合M的元素，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），共2个元素，故选：B．【知识点】集合的含义2.已知R是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）【答案】B【分析】由图观察利用集合的表示法中的描述法表达阴影部分即可；【解答】解：已知R是实数集，集合，阴影部分表示的集合是：（∁RA）∩B＝{x|0＜x≤1}；即：（0，1]故选：B．【知识点】集合的含义3.（多选题）下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【分析】根据集合的定义进行判断即可．【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，故选：BD．【知识点】集合的含义4.对于函数y＝f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以为其在（0，+∞）上的唯一均值的是．①；②；③y＝﹣x2+1；④y＝x﹣1．【答案】①②④【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：对于函数①y＝（）x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于∀x1∈（0，+∞），∃x2∈（0，+∞）．使成立，故①对．对于函数②y＝，可直接取任意的x1∈（0，+∞），验证求出唯一的x2＝，即可得到成立．故②对．对于函数③y＝﹣x2+1，取任意的x1∈（0，+∞），＝＝，x2＝±，可以两个的x2∈D．故不满足条件．对于函数④y＝x﹣1，定义域为R，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使＝成立．故④对．故答案为：①②④【知识点】集合的含义考点02集合的关系例2.设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，m}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1）∪（1，3）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【答案】B【分析】可求出A＝{x|﹣2＜x＜3}，根据题意可得出A∩B＝{1，m}，然后即可得出m∈A且m≠1，从而可得出m的取值范围．【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{1，m}，A∩B有4个子集，∴A∩B＝{1，m}，∴m∈A且m≠1，∴m的取值范围是（﹣2，1）∪（1，3）．故选：B．【知识点】子集与真子集、交集及其运算练习：1.已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{x|x2+4x+3＝0}，若A∪B所有子集的个数为8，则a可能的取值组成的集合为（）A．{﹣1，﹣3}B．{0，﹣1，﹣3}C．{0，﹣3}D．{0，﹣1}【答案】B【分析】根据题意可知，A∪B有3个元素，并且A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，从而可得出a的所有可能取值，即得出a可能的取值组成的集合．【解答】解：∵A∪B的所有子集个数为8，∴A∪B有3个元素，又A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，∴a＝0或﹣1或﹣3，∴a可能的取值组成的集合为{0，﹣1，﹣3}．故选：B．【知识点】并集及其运算、子集与真子集2（多选题）.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．【分析】讨论a＝0和a＞0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值．【解答】解：集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，即有B⊆A；若a＞0，可得B＝{﹣，}，不满足B⊆A；若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得＝2或﹣＝﹣1，解得a＝或a＝2．综上可得，a＝0或或2；故答案为：{0，，2}．【知识点】子集与真子集4.在平面直角坐标系xOy中，设点的集合A＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2}，，且A⊆B，则实数a的取值范围是．【分析】①当a＝0时显然满足题意，②当a≠0时，因为A⊆B，由圆与直线的位置关系可知：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2与直线x＝3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图所示，又圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为：＝，圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为：＝|a|，由图得：，即0，综合①②可得解．【解答】解：①当a＝0时显然满足题意，②当a≠0时由图可知：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2与直线x＝3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图，圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为：＝，圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为：＝|a|，由图得：，即0，综合①②得：实数a的取值范围是：0，故答案为：[0，]【知识点】集合的包含关系判断及应用考点03集合的运算例1.已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁UA）⋃（∁UB）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]【答案】B【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．【解答】解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}∴（∁UA）⋃（∁UB）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．故选：B．【知识点】交、并、补集的混合运算练习：1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩（∁UB）＝（）A．（2，3]B．∅C．[﹣1，0）∪（2，3]D．[﹣1，0]∪（2，3]【答案】D【分析】求出集合A，集合B，从而得到∁UB，由此能求出A∩（∁UB）．【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，∴∁UB＝{x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}＝[﹣1，0]∪（2，3]．故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算2.已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（）A．M﹣（M﹣N）＝NB．（M﹣N）+（N﹣M）＝∅C．（M+N）﹣M＝ND．（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅【答案】D【分析】根据题中的新定义表示出M﹣N，N﹣M，即可做出判断．【解答】解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，N﹣M＝{x|x∈N且x∉M}，则（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅．故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算3.（多选题）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（）A．A∩B＝{0，1}B．∁UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为8【答案】AC【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，∴A∩B＝{0，1}，故A正确，∁UB＝{2，4}，故B错误，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误故选：AC．【知识点】交、并、补集的混合运算4.设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，则集合B＝【答案】{3，4}【分析】全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，根据（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，可得2∈A，进而解得q．可得A，∁uA，可得3∈B．解得p，即可得出B．【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∵（∁uA）∪B＝{1，3，4，5}，∴2∈A，∴22﹣5×2+q＝0，解得q＝6．∴x2﹣5x+6＝0，解得x＝2，3．∴A＝{2，3}，∴∁uA＝{1，4，5}，∴3∈B．∴32+3p+12＝0，解得p＝﹣7．由x2﹣7x+12＝0，解得x＝3，4．∴B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【知识点】交、并、补集的混合运算1.设集合A＝〈x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]【答案】A【分析】本题先计算集合A和集合B中的不等式，分别得到解集，再进行集合运算即可得到正确选项．【解答】解：∵A＝〈x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|≥1}＝{x|0＜x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}，即A∩B＝（0，1]．故选：A．【知识点】交集及其运算2.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝3x﹣2x+1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}【答案】B【分析】依据交集的性质可知，所得交集是A的子集，分别讨论y＝﹣1，0，1是2是否有满足条件的整数解即可．【解答】解：当﹣1∈B即3x﹣2x+1＝﹣1时，解得：x＝0，满足题意；当0∈B即3x﹣2x+1＝0时，3x＝2x+1，即，显然没有整数解，故0∉B；当1∈B即3x﹣2x+1＝1时，解得x＝2，符合题意．故A∩B＝{﹣1，1}．故选：B．【知识点】交集及其运算3.某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【答案】C【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩