【新高考复习】专题2.2 基本不等式及其应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

专题2.2基本不等式及其应用新课程考试要求1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.掌握基本不等式abba2(a，b＞0)及其应用..核心素养培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用【知识清单】1．重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．2．基本不等式当a0，b0时有abba2，当且仅当a=b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．4.常用推论（1）22ab2ab（,Rab）（2）2ab()2ab（0a，0b）；222()22abab（3）222(0,0)1122ababababab【考点分类剖析】考点一：利用基本不等式证明不等式例1.（2021·山西高三二模（文））证明：2112aa；【答案】证明见解析.【解析】由不等式2222abab，令1b，则有21122aa，即可证得2112aa.例2.已知a0，b0，a＋b＝1，求证：11119ab.【答案】见解析【解析】∵0a，0b，1ab＋＝，∴11+=1+=2+abbaaa.同理，11+=2+abb.∴111122baabab＝5+25+4=9baab，当且仅当baab，即1a=b=2时取“＝”．∴11119ab，当且仅当12ab时等号成立．【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.求证:47(3)3aaa【答案】见解析【解析】证明:443333aaaa由基本不等式和3a得444332(3)3333aaaaaa=2437当且仅当433aa即5a时取等号.2.已知a、b、c都是正数，求证：()()()8abbccaabc【答案】见解析【解析】∵a、b、c都是正数∴20abab（当且仅当ab时，取等号）20bcbc（当且仅当bc时，取等号）20caca（当且仅当ca时，取等号）∴()()()2228abbccaabbccaabc（当且仅当abc时，取等号）即()()()8abbccaabc.考点二：利用基本不等式求最值例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足1ab，则（）A．11ab有最小值4B．abab有最大值12C．ab有最大值2D．22ab有最小值12【答案】ACD【解析】根据基本不等式结合不等式的性质判断．【详解】因为0,0ab且1ab，所以2124abab，当且仅当12ab时等号成立，即ab的最大值为14，1114abababab，A正确；14ababab，B错误；121224ababab，C正确；22211()2121242abababab，D正确．故选：ACD．例4.（2021·浙江高三月考）若正实数a，b满足2232baab，则162baaab的最小值是______．【答案】315【解析】由已知不等式可解得3ba，换元，设bta，则所求式变形为16222tt，利用函数16(0)yxxx的单调性可得1622ytt的最小值，从而得结论．【详解】因为正实数a，b满足2232baab，所以2230bbaa，解得1ba或3ba，而,ab均为正数，所以3ba，设3bta，则162baaab16162222tttt，0x时，由不等式168xx，当且仅当4x时等号成立知1622ytt在[2,)上单调递增，又3t，所以3t时，1622ytt取得最小值1641555，所以162baaab的最小值是4131255．故答案为：315．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如(0)ayxax的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,mn满足12nm，则11mn的最小值为（）A．223B．32C．222D．3【答案】A【解析】由题意，因为12nm，则111122()(2)332322nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当2nmmn，即2nm时等号成立，所以11mn的最小值为223，故选A.2.（2019年高考天津卷文）设0,0,24xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________.【答案】92【解析】(1)(21)2212525xyxyyxxyxyxyxyxy.因为0,0,24xyxy，所以2422xyxy，即22,02xyxy，当且仅当22xy时取等号成立.又因为192255=22xy，所以(1)(21)xyxy的最小值为92.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．考点三：基本不等式的实际应用例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为2，侧面积为S，体积为V，则VS取得最大值时圆锥的体积为（）A．23B．42π3C．26D．22π3【答案】D【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得2146VrrS，结合基本不等式求得2r时取得最大值，进而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，由题意可得母线2l，所以圆锥的侧面积为2Srlr，且2224hlrr，所以圆锥的体积为22211433Vrhrr，则222221411413426623rrVrrrrSr，当且仅当24rr，即2r时取等号，此时22143Vrr12224233.故选：D.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.【答案】30【解析】总费用600900464()42900240xxxx，当且仅当900xx，即30x时等号成立.考点四：基本不等式的综合运用例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1sin2,462Abc，则a的最小值为_________.【答案】2【解析】结合A的范围求出角A的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值【详解】解：因为(0,)A，所以132,666A，因为1sin262A，所以5266A，解得3A，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，则222bcabc，所以2222()3abcbcbcbc，因为244bcbc，4bc，所以1634bc，当且仅当2bc时取等号，所以24a，解得2a，当且仅当2bc时取等号，所以a的最小值为2，故答案为：2例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1fxmxmxm（mR）．（1）若不等式()0fx的解集为，求m的取值范围；（2）当2m时，解不等式()fxm；（3）若不等式()0fx的解集为D，若[11]D，，求m的取值范围．【答案】（1）233m；（2）1|11xxm.；（3）233m.【解析】（1）①当10m即1m时，2fxx，不合题意；②当10m即1m时，210{4110mmmm，即21{340mm，∴1{232333mmm或，∴233m（2）fxm即2110mxmx即1110mxx①当10m即1m时，解集为{|1}xx②当10m即1m时，1101xxm∵1011m，∴解集为1{|1}1xxxm或③当10m即21m时，1101xxm∵21m，所以110m，所以111m∴解集为1{|1}1xxm（3）不等式0fx的解集为D，1,1D，即对任意的1,1x，不等式2110mxmxm恒成立，即2211mxxx恒成立，因为210xx恒成立，所以22212111xxmxxxx恒成立，设2,xt则1,3t，2xt，所以2222131332213xttxxtttttt，因为323tt，当且仅当3t时取等号，所以22123313233xxx，当且仅当23x时取等号，所以当23x时，22max12313xxx，所以233m【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑚，nN，满足𝑎𝑚𝑎𝑛2=