【新高考复习】专题3.5 指数与指数函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）

专题3.5指数与指数函数新课程考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.考向预测1.指数幂的运算；2．指数函数的图象和性质的应用；3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在2.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(na)n＝a.②nan＝a，n为奇数，|a|，n为偶数.3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点分类剖析】考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为55，33，2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学【典例2】计算：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－13×760＋80.25×42＋(32×3)6－23232.计算：1332×760＋148×42－2323＝________.【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）n0＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如8a2，a∈R，化成分数指数幂应为a28，a∈R，而a14＝4a，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知𝑥+𝑥−1=3 ，则𝑥32+𝑥−32的值为__________．【典例4】设11223xx，求1xx的值．【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(𝑥12+𝑥−12)2=𝑥+2+𝑥−1，(𝑥+𝑥−1)2=𝑥2+2+𝑥−2，𝑥32+𝑥−32=(𝑥12+𝑥−12)(𝑥−1+𝑥−1)，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】已知11223aa，求下列各式的值.（1）11aa；（2）22aa；（3）22111aaaa考点三：指数函数的概念【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数(0,1)xfxaaa，且12f，则02ff（）A．4B．5C．6D．8【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．【变式探究】若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1考点四：指数函数的图象【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数2xy，3xy，1()2xy的一个是（）A．①B．②C．③D．④【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是（）A．B．C．D．【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)xya＝与xya＝的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数xya和(1)yax（其中0a且1a）的大致图象只可能是()A．B．C．D．2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．高频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】（2020·浙江高三月考）已知0mn，0a且1a，设mmM=aa，nnN=aa，则（）A．MNB．MN=C．MND．10MNa【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数211,0,()221,0,xxfxxxx则不等式()20xfx的解集是（）A．(1,0)(0,1)B．(1,1)C．(0,1)D．(1,)【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数22811(31)3xxyx的值域是_________.【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)xfxaaax且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a值；（2）求函数2()(0)xfxax的值域；【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I卷文）设函数𝑓(𝑥)={2−𝑥 ，  𝑥≤01 ，  𝑥0，则满足𝑓(𝑥+1)𝑓(2𝑥)的x的取值范围是（）A.(−∞ ，  −1]B.(0 ，  +∞)C.(−1 ，  0)D.(−∞ ，  0)2.（2019·天津高三高考模拟）若2𝑥2+1≤(14)𝑥−2，则函数𝑦=2𝑥的值域是A．[18,2)B．[18,2]C．(−∞,18]D．[2,+∞)3．（2021·江苏高三月考）已知函数()exxafx，且lnbcae，则（）A．()()()fafbfcB．()()()fbfcfaC．()()()fafcfbD．()()()fcfbfa4．（山东省高考真题）已知函数()(0,1)xfxabaa的定义域和值域都是1,0，则ab.