【新高考复习】专题6.3 平面向量的应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练

专题6.3平面向量的应用1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边ABC的边长为23,P为它所在平面内一点，且||1APABAC，则||AP的最大值为（）A．431B．7C．5D．231【答案】B【解析】取BC的中点D，连接AD，并延长到E，则有2ABACADAE，从而将||1APABAC转化为|2|1APAD，而3ADuuur，所以结合图形可得答案【详解】解：取BC的中点D，连接AD，并延长到E，使ADDE，因为ABC为等边三角形，所以,ADBCBDCD，所以2ABACADAE,因为||1APABAC，所以|2|1APAD,因为等边ABC的边长为23，所以3sin602332ADAB，要使||AP取得最大值，则AP与AD共线且同向，所以||AP的最大值为2317，故选：B练基础2．（2021·浙江高一期末）在ABC中，32ABBCBCCACAAB，则sin:sin:sinABC（）A．5∶3∶4B．5∶4∶3C．5:2:3D．5:3:2【答案】D【解析】利用两个向量的数量积的定义可得22222222222233366612acbabcbcak，由此求得,,abc的值，利用正弦定理可得sin:sin:sinABC的值.【详解】由题意，在ABC中，32ABBCBCCACAAB，利用向量的数量积的定义可知coscoscos32acBabCbcA，即coscoscos321acBabCbcA即222222222322212acacbababcbcbcaacabbc，即222222222222333666acbabcbca，设22222222222233366612acbabcbcak，解得2225,3,4akbkck，所以5,3,4akbkck，所以由正弦定理可得::sin:sin:sin5:3:2abcABC.故选:D.3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,abcAH为BC边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A．()0AHACABB．0ABBCABC为锐角三角形C．sinAHACcBAHD．22()2cosBCACABbcbcA【答案】ACD【解析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误【详解】解：()0AHACAHABAHACABAHBCAHACAHAB，所以()0AHACAB，故A正确；若0BCAB，则B为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断ABC的形状，故B错误；||||cos,|||cos,||||||AHACAHACAHACACACAHAHAHAH而sin||cBAH，故C正确22()BCACABBCa由余弦定理有2222cosabcbcA故有22()2cosBCACABbcbcA，故D正确故选：ACD．4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点O为ABC外接圆的圆心，||6AC，30OAC，则（）A．3OCB．23OCC．6OAOCD．6OAOC【答案】BD【解析】根据垂径定理先求出OC，再求OAOC即可.【详解】令2OCt，则222622tt，所以t3（舍）或3t，所以23OC，所以cos2323cos180606OAOCOAOCAOC.故选：BD.5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC，若ABC的边长为7﹐且AFFD，则DEF的面积为___________.【答案】34【解析】先根据图形的构成判断出2CFADAF，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出DEF的面积.【详解】因为AFFD，所以2CFADAF.设AFa，则2CFa，在ACF中，由余弦定理可得2227422cos120aaaa，解得1a，所以224sin13630=24DEFSaa.故答案为：34.6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在ABC中，5AB，10AC，25ABAC，点P是ABC内（包括边界）的一动点，且35APABACR，则AP的最大值是_________．【答案】37【解析】取35ADAB，135CPCB，作1//PDAC，由平行四边形法则可得P点轨迹，确定所求最大值为1AP；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.【详解】取35ADAB，135CPCB，作1//PDAC，P为ABC内（包含边界）的一动点且35APABACR，根据平行四边形法则可知：点P的轨迹为线段1PD，1maxAPAP.在ABC中，251cos5102ABACBACABAC，2222cos75BCACABABACBAC，53BC，12235BPBC，1251237AP，即AP的最大值为37.故答案为：37.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系xOy中，非零向量,2amm，在圆22315xy上存在点P，使得2aOPa，则实数m的取值范围是______．【答案】0,2【解析】由条件得2aOAAPaaAaOAP，代入坐标形式进行运算，得到1cosm，从而求得范围.【详解】设点3,1A，由条件可知0m，5AP®=，设向量AP与a的夹角为，由2aOPa得2aOAAPaaAaOAP，即2,23,155cos51cos5mmmmm，因为a是非零向量，所以0m，于是1cosm，因为0,，所以1cos0,2，所以m的取值范围是0,2．故答案为：0,28．（2021·浙江高三月考）已知平面向量,ab夹角为3，且平面向量c满足1,cacb1,2cacb记m为1fttatb（tR）的最小值，则m的最大值是__________．【答案】32【解析】将条件转化，然后用数形结合求解.【详解】设OAa，OBb，OCc，则ACca，BCcb，依题意可知，1ACBC，3AOB，23ACB，故点O在△ABC的外接圆M上.其半径11112sin2sin30BCRCAB，m为点O到直线AB的距离OH，显然，当O运动到点P处时，m有最大值132222PNRCN.故答案为：32.9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知AD，BE，CF是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点.【答案】证明见解析.【解析】结合向量的数量积即可证明.【详解】如图，设ADBEH，则HABC，HBAC()0()0HABCHAHCHBHBACHBHCHA①②①-②得：0HCHAHB，即0HCBA故HCBA，即CHAB，又CFAB所以C，F，H三点共线，所以AD，BE，CF相较于一点.10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．【答案】（1）点B与点P之间的距离为203海里，（2）38.【解析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，120,30PABAPB，所以400.520ABAP所以由余弦定理可得222cos400400200203PBABAPABAPPAB所以点B与点P之间的距离为203海里（2）如图，BC的方向为水流的方向，BD的方向为船头的方向，BP的方向为实际行进的方向，其中4,60BDBCCBPBPD在BPD△中，由正弦定理可得sinsinPDBDPBDBPD所以133sinsin428PDPBDBPDBD即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为381．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是________．【答案】185或0【解析】根据题设条件可设0PAPD，结合32PAmPBmPC与,,BDC三点共线，可求得，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,ADP三点共线，∴可设0PAPD，∵32PAmPBmPC，∴32PDmPBmPC，即32mmPDPBPC，若0m且32m，则,,BDC三点共线，∴321mm，即32，∵9AP，∴3AD，∵4AB,3AC,90BAC，∴5BC，设CDx，CDA，则5BDx，BDA.∴根据余弦定理可得222cos26ADCDACxADCD，222257cos265xADBDABADBDx，∵coscos0，练提升TIDHNE∴2570665xxx，解得185x，∴CD的长度为185.当0m时，32PAPC，,CD重合，此时CD的长度为0，当32m时，32PAPB，,BD重合，此时12PA，不合题意，舍去.故答案为：0或185.2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，23sinsin()2sinsin2BaCACcA，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．【答案】2332【解析】结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC边的中线的最小值【详解】∵ABC，∴ACB，而23sinsin()2sinsin2BaCACcA，∴(1cos)3sinsinsin2sinsin2BACBCA，∵sinsin0AC，∴3sin1cosBB即1sin62B，∵0B，∴7666B，∴566B，故23B；延长中线BD到点E，使得BDDE，不妨设中线长为y，如图所示，即2BEy，由平面几何知识易得四边形ABCE是平行四边形，而23ABC，∴3BCE，CEABc，BCa，∴在BCE中，由余弦定理得，22222(2)2cos()2363363932acyacacacac