【新高考复习】专题7.2 等差数列及其前n项和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考

专题7.2等差数列及其前n项和1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列na中，已知123328aaa，则公差d（）A．1B．2C．-2D．-1【答案】B【解析】设等差数列na的公差为d，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列na的公差为d，因为123328aaa，所以1113282dadaa，解得2d故选：B2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列na的前n项和为nS，若75a，927S，则公差d等于（）A．0B．1C．12D．32【答案】B【解析】199599272aaSa，解得53a，所以75531752aad．故选：B.3.（2020·全国高三其他（理））已知nS为等差数列na的前n项和，若77217Sa，则10S（）A．12B．15C．18D．21【答案】B【解析】由17747772172aaSaa，得473aa，练基础所以4710310101522aaS.故选：B.4．（2019·浙江高三会考）等差数列{𝑎𝑛}(𝑛∈𝑁∗)的公差为d，前n项和为𝑆𝑛，若𝑎10,𝑑0,𝑆3=𝑆9，则当𝑆𝑛取得最大值时，n＝（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根据题意，等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆3=𝑆9，则𝑆9−𝑆3=𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9=0，又由{𝑎𝑛}为等差数列，则𝑎4+𝑎9=𝑎5+𝑎8=𝑎6+𝑎7=0，又由𝑎10，𝑑0，则𝑎60，𝑎70，则当𝑛=6时，𝑆𝑛取得最大值；故选：C．5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：123451155223833.6aaaaaadaa，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S150，S160，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和2122nddSnan，由S150，S160，得111570,02adad，∴890,0,0aad，若视为函数则对称轴在89,SS之间，∵89SS，∴Sn最大值是8S，分析nnSa，知na为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，na递减，前8项中nS递增，∴前8项中nS最大na最小时nnSa有最大值，∴88Sa最大．7．（2019·全国高考真题（文））记nS为等差数列na的前n项和，若375,13aa，则10S___________.【答案】100【解析】317125,613aadaad得11,2ad101109109101012100.22Sad8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，12103aaa≠，，则105SS___________.【答案】4.【解析】因213aa，所以113ada，即12ad，所以105SS11111091010024542552adaaad．9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.【答案】64【解析】设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设{an}的公差为d.因为435622,27,SSaa，即111143324232,222457,adadadad所以11,2,ad，所以81878=642=Sad.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理））记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=−7，𝑆3=−15．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求𝑆𝑛，并求𝑆𝑛的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列na满足120aa，若2121nnnnaaaa，则“数列na为无穷数列”是“数列na单调”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件练提升TIDHNEC．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得11nnabnaa，设1nbbna，若存在正整数m，当0mb时，有10ma，此时数列{}na为有穷数列；若nb恒不为0，由1nnnaba，有10na，此时{}na为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令1aa，2(0)abab，由2121nnnnaaaa，可得0na，所以2111nnnnaaaa，即2111nnnnaaaa，所以数列1nnaa为等差数列，首项为21abaa，公差为1，所以1(1)11nnabbnnaaa，设1nbbna，则数列{}nb是单调递增的等差数列，若存在正整数m，当0mb时，则有10ma，此时数列{}na为有穷数列；若nb恒不为0，由1nnnaba，有10na，数列{}na就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时{}na为无穷数列.（1）若1nbbna恒不为0，则{}na为无穷数列，由递推关系式有1(1)nnbaana，取2a，5b时，17()2nnaan，则12a，25a，352a，，此时数列{}na不是单调数列；（2）当数列{}na为有穷数列时，存在正整数m，当0mb时，有10ma，此时数列{}na为1a，2a，3a，，ma，1ma+，由10ma，若数列{}na单调，则1a，2a，3a，，ma全为正或全为负，由10(1)kkkabkma，则1b，2b，3b，，1mb全为正，而0mb，这与1nbbna单调递增矛盾，所以当数列{}na为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列{}na单调时，数列{}na一定有无穷多项．故选：B.2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列na（单位万元，nN），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a的3倍，已知221272aa．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列na的公差为d，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210aa+，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列na的公差为d，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010aaaaaaadaaaa+++++创=+=+=+，因为221272aa，所以()()()2121222121010102120aaaaaa+=+?+，当且仅当12aa时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数()[[]]fxxx，其中[]x表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]1，[1.5]2，[2]2.当*[))0,(xnnN时，()fx的值域为nA.记集合nA中元素的个数为na，则2020211iia的值为（）A．40402021B．20192021C．20192020D．20191010【答案】D【解析】先根据条件分析出当0,xn时，集合nA中的元素个数为222nnna，进而可得111211nann，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为0,0,11,1,22,2,3......1,1,xxxxnxnn，所以0,0,1,1,22,2,3......1,1,xxxxxxxnxxnn，所以xx在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n，所以当*0,,xnnN时，fx的值域为nA，集合nA中元素个数为：2121123...1122nnnnnan，所以1112211nnann，所以2020211111112019212...22112232019202020201010iia，故选：D.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列{}na的公差892,1daa，nS为其前n项和，则nS的最小值为___________.【答案】8【解析】利用892,1daa，求得1a的值，然后利用等差数列求和公式求得nS，利用函数图象得nS的最小值可能为1S，16S或17S，分别求出1S，16S，17S，得出最小值.【详解】由于892,1daa即11781adad,解得1312a,故231(1)(2)33222nnnSnnn,作函数233,02fxxxx的图象，故nS的最小值可能为1S，16S或17S，而1312S，168S，17172S，故nS的最小值为168S.故答案为：8.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列1,,1,,,1,,,,1,,,,,1,,xxxxxxxxxxx…，其中在第n个1与第1n个1之间插入n个,x若该数列的前2018项的和为5928,则x＝___________.【答案】3【解析】当2n时，若有n个1，由题知，数列共有(1)(121)2nnnn项，当63n时，636420162，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前2018项中含63个1，其余均为x，从而根据前2018项的和为5928,求得x.【详解】当2n时，若有n个1，由题知，数列共有(1)(121)2nnnn项，当63n时，636420162，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前2018项中含63个1，其余均为x，故该数列的前2018项的和为631(201863)5928x，解得