【新高考复习】专题7.6 数学归纳法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解

专题7.6数学归纳法1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)nnn时，从nk到1nk等式左边需增添的项是（）A．22kB．2(1)1kC．[(22)(23)]kkD．(1)12(1)1kk【答案】C【解析】分别写出nk和1nk时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当nk时，左边123(21)k，共21k个连续自然数相加，当1nk时，左边123(21)(22)(23)kkk，所以从nk到1nk，等式左边需增添的项是[(22)(23)]kk.故选：C.2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-111234+…+1-1n=2111…242nnn时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立【答案】B【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设(2)nkk…为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即2nk时等式成立，练基础不是1nk，因为k是偶数，1k是奇数，故选：B．3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1【答案】C【解析】根据数学归纳法、不等式特点知nk有左侧1111...2321k，1nk有左侧11111111......232122121kkkk，即可判断增加的项数.【详解】nk时，左边=1111...2321k，而n＝k＋1时，左边＝11111111......232122121kkkk，增加了1111...22121kkk，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C.4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式*1114,21225nNnnnn时，可将其转化为证明（）A．*11141,2122521nnnnnnNB．*14,2122521111nnnnnnNC．*114,21225211NnnnnnnD．*11141,212252Nnnnnnn【答案】B【解析】各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于45，利用排除法即可.【详解】根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当2n时，左端值为11735341260，右端为411133542065，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.故选：B.5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，左边为故增加的项数为项.故答案为：C.6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明2511222nnN能被31整除时，从k到1k添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】分别写出nk和1nk时的对应的结果，再比较差异，得到答案.【详解】当nk时，原式为：251122...2k，当1nk时，原式为251551525354122...222222kkkkkk，1111...(,1)2321nnnNnnk1nkk1k2k21k1111...(,1)2321nnnNnnk1111...(,1)2321kknNn1nk1111111.......1(,1)2321221221kkkkkknNn2k比较后可知多了55152535422222kkkkk，共5项.故答案为：57.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：①，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1,𝑎𝑛+1=1+𝑎𝑛1+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)用数学归纳法证明：𝑎𝑛𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗).【答案】见解析.【解析】当𝑛=1时，𝑎2=1+𝑎11+𝑎1=32，𝑎1𝑎2，所以，𝑛=1时，不等式成立；假设𝑛=𝑘（𝑘∈𝑁∗）时，𝑎𝑘𝑎𝑘+1成立，则当𝑛=𝑘+1时，𝑎𝑘+2−𝑎𝑘+1=1+𝑎𝑘+11+𝑎𝑘+1−𝑎𝑘+1=1+𝑎𝑘+11+𝑎𝑘+1−(1+𝑎𝑘1+𝑎𝑘)=11+𝑎𝑘−11+𝑎𝑘+1{}na11annS214(3)(2,)nnSannN≥{}nana21n1n11a2n221224(3)16,4,3SaSa3n232334(3)36,9,5SaSa4n243444(3)64,16,7SaSa21nan21nan11a21nannk21kak2kSk22214(3)(22)4(1)kkSakk222111(1),(1)21kkkkSkaSSkkk2(1)1k21nan21nan21nan=𝑎𝑘+1−𝑎𝑘(1+𝑎𝑘)(1+𝑎𝑘+1)0，所以，𝑛=𝑘+1时，不等式成立．综上所述，不等式𝑎𝑛𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)成立．9.（2021·全国高三专题练习）数列na满足*2NnnSnan.（1）计算123aaa、、，并猜想na的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1)11a；232a；374a；*121N2nnnan.(2)证明见解析.【详解】分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当1n时，1112aSa，∴11a；当2n时，122222aaSa，∴232a；当3n时，1233323aaaSa，∴374a；由此猜想*121N2nnnan；（2）证明：①当1n时，11a结论成立，②假设nk（1k，且*Nk）时结论成立，即1212kkka，当1nk时，11121kkkkaSSka122kkkkaaa，∴122kkaa，∴1122122kkkkaa，∴当1nk时结论成立，由①②可知对于一切的自然数*Nn，1212nnna成立.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：11a，点*1(,)()nnaanN在直线21yx上．（1）求234,,aaa的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．【答案】（1）23a，37a，415a；21nna；（2）证明见解析.【解析】（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.【详解】(1)点*1(,)()nnaanN在直线21yx上可知，数列na满足：121nnaa，11a，2343,7,15aaa．可猜得21nna．(2)当1n时，1211a成立，假设当(1,)nkkkN时，21kka成立，则当1nk时，11212(21)121kkkkaa成立，就是说*nN，猜想正确；综上，21nna．1．（2021·全国）已知数列na满足*1nnnnaanNa，10a，则当2n时，下列判断一定正确的是（）A．1nanB．211nnnnaaaa练提升TIDHNEC．nanD．1nan【答案】C【解析】根据特殊值法，分别令11a，13a，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.【详解】因为数列na满足*1nnnnaanNa，10a，若13a，则21113313aaa，不满足1nan，故A错误；若11a，则2112211aaa，3223312aaa，4334413aaa，不满足1nan，故D错误；又此时43321aaaa，不满足211nnnnaaaa，故B错误；因为10a，所以211112112aaaaa，当且仅当111aa，即11a时，等号成立；构造函数kfxxx，2k，xk³，所以22xk，则210kfxx在,xk上显然恒成立，所以,2kfxxkx在,xk上单调递增；因此2yxx在2,x上单调递增，所以32222322aaa，猜想nan，对任意2n恒成立；下面用数学归纳法证明：（1）当2n时，211112112aaaaa，显然成立；（2）假设当3nkk时，不等式成立，即kak恒成立；则1nk时，1knkaaak，因为函数,2kfxxkx在,xk上单调递增；所以1fxfkk，即11kknaakka成立；由（1）（2）可得；nan，对任意2n恒成立；故C正确.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列na，满足101aaa，*11ln1nnnaaanN，则（）A．110nnaanB．110nnaanC．110nnaanD．110xnaan【答案】B【解析】转化条件为*1ln11nnnaanNa，令ln1,011xfxxx，通过导数可得fx单调递增，通过数学归纳法可证明如果*10,kakNk，则11ln1011kkak，再令ln1,0xxxx，通过导数证明10x后，适当放缩可得10nan，进而可证明1nnaa，即可得解.【详解】因为*11ln1nnnaaanN，所以*1ln11nnnaanNa，令ln1,011xfxxx，则21ln11xfxx，当01x时，21ln101xfxx，fx单调递增，由题意，1101aa，如果*10,kakNk，则11ln1ln10111kkkakaak，设ln1,0xxxx，则11xx，所以x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以10x，即ln1xx，因为111k，所以111ln111kkk，所以111ln1111111kkkakkk