【新高考复习】专题7.7 《数列与数学归纳法》单元测试卷 2022年高考数学一轮复习讲练测（新

专题7.7《数列与数学归纳法》单元测试卷考试时间：120分钟满分：150注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019·贵州高二学业考试）在正项等比数列na中，242,8aa，则3a（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】根据等比中项求解即可.【详解】解：因为正项等比数列na中，242,8aa，所以232416aaa，34a.故选：C2．（2021·北京人大附中高二期末）根据预测，某地第*nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,4nnnann，5nbn，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．935【答案】D【解析】根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保有量.【详解】由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为12341234aaaabbbb2095420430678996530935故选：D.3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）设等差数列{}na的前n项和为nS，若24=3,10SS，则6S=（）A．21B．15C．13D．11【答案】A【解析】利用等差数列的前n项和的性质求解.【详解】因为数列{}na是等差数列，所以24264,,SSSSS成等差数列，所以422642SSSSS，因为24=3,10SS，所以62103310S，解得621S，故选：A4．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））设等差数列na的前n项和为nS，若10a，512SS，则当nS取得最大值时，n的值为（）A．7B．8C．9D．8或9【答案】D【解析】根据512SS求得90a，结合10a，判断数列单减，从而判断nS取得最大值时，n的值.【详解】由题知，1256712970SSaaaa，则90a，等差数列na的公差d满足9180aad，数列单减，且80ad，100ad，则当nS取得最大值时，n的值为8或9故选：D5．（2021·全国高二课时练习）记数列na的前n项和为nS，21nnSa，则2020S（）A．202021B．202121C．2020122D．2021122【答案】A【解析】根据nS与na的关系式证明数列na为等比数列，从而求2020S.【详解】依题意21nnSa，当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；当2n时，由21nnSa得1121nnSa，两式相减，得1122nnnnSSaa，即12nnaa，所以12nnaa2n，所以数列na是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna，202020202020122112S.故选：A.6．（2021·全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8=（）A．56B．72C．88D．40【答案】B【解析】根据a1，a3，a9成等比数列，得到23a=a1a9，再根据a1=2，求得公差即可.【详解】因为a1，a3，a9成等比数列，所以23a=a1a9，又a1=2，所以(a1+2d)2=a1(a1+8d)，解得d=2或d=0(舍)，故an=2+(n-1)×2=2n，所以S8=188()2aa=4(2+2×8)=72.故答案为：B7．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设各项均为正项的数列na满足13a，2211220nnnnaaaa，*nN若2cos3nnnba，且数列nb的前n项和为nS，则6S（）A．152B．92C．5D．6【答案】D【解析】由2211220nnnnaaaa利用因式分解可得12nnaa，即可判断出数列na是以3为首项，2为公差的等差数列，从而得到数列na，数列nb的通项公式，进而求出6S．【详解】2211220nnnnaaaa等价于1120nnnnaaaa，而0na，所以12nnaa，即可知数列na是以3为首项，2为公差的等差数列，即有32121nann，所以22cos21cos33nnnnban，故61111357191113162222S．故选：D．8．（2021·河南高二月考（理））定义函数fxxx，其中x表示不超过x的最大整数，例如，21.1，1.11，33，当0,xnnN时，fx的值域为nA，记集合nA中元素的个数为na，数列111na的前n项和为nS，则2021S（）A．20211010B．2C．40402021D．20211011【答案】D【解析】根据题意，归纳出数列na的通项公式，结合裂项相消法即可求解.【详解】当1n时，0,1x，0x，0xx，所以xx的取值为0，所以10A，所以11a；当2n时．0,2x，若0,1x时，0xx，故0xx，若1,2x时，1x，xxx，故1xx，所以20,1A，所以211a；当3n时，0,3x，若0,1x时，0xx，故0xx；若1,2x时．xxx，故1xx；若2,3x时，24,6xxx，故4xx，5，所以30,1,4,5A，所以3112a；当4n时，0,4x，若0,1x时0xx，故0xx；若1,2x时，xxx，故1xx；若2,3x时，24,6xxx，故4xx，5，若3,4x时．39,12xxx，故9xx，10，11，所以31,4,5,9,10,11A．所以41123a；以此类推，可以归纳，得(1)112(1)12nnnan，所以1121(1)nann，所以22211111211223(1)2231nSnnnn122111nnn，所以2021S4042202120221011．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·全国高二专题练习）已知nS是na的前n项和，12a，1112nnana，则下列选项错误的是（）A．20212aB．20211012SC．331321nnnaaaD．na是以3为周期的周期数列【答案】AC【解析】推导出3nnaanN，利用数列的周期性可判断各选项的正误.【详解】因为12a，1112nnana，则211112aa，32111aa，413112aaa，以此类推可知，对任意的nN，3nnaa，D选项正确；202136732212aaa，A选项错误；202112312316736732101222Saaaaa，B选项正确；331323211nnnaaaaaa，C选项错误.故选：AC.10．（2021·湖北高二期中）已知数列na是等比数列，公比为q，前n项和为nS，下列判断正确的有（）A．1na为等比数列B．2logna为等差数列C．1nnaa为等比数列D．若13nnSr，则13r【答案】AD【解析】A选项利用等比数列的定义判断即可，B选项若0na，则2logna没意义，C选项，当1q时，项为0，D选项，把等比数列前n项和化简为1111(1)111nnnaqaSqaqqqq即可求出.【详解】A选项，设1nnba，则111(1,)nnnnbannNbaq，所以1na为等比数列，A正确；B选项，若0na，则2logna没意义，故B错误；C选项，当1q时，10nnaa，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；D选项，由题意得1q，1111(1)111nnnaqaSqaqqqq，由13nnSr得，3q，111aqq，即123a，所以1113arq，故D正确；故选：AD.11．（2021·重庆高三其他模拟）设数列na的前n项和为nS，若23a，12nnSSn，则（）A．1nnaSB．1na是等比数列C．2nnS是单调递增数列D．2nnSa【答案】ACD【解析】由已知得出1nnaSn，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由12nnSSn得1nnaSn，故1nnaS，对于B选项，将12nnSSn，1212nnSSnn两式相减得121nnaa，即1121nnaa2n，又令1n，得21111213212SSaaa，21121aa，所以1na从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n时，221212nnnaa，即21nna，所以，2,121,2nnnan，故B选项错误；对于C选项，因为2,121,2nnnan.当1n时，12S，当2n时，2312122222112112nnnnSnnn.所以，12,121,2nnnSnn，令1,1122,22nnnnnScnn，则2n时，1111211222022222nnnnnnnnnnnncc，即1nncc，而2154cc，所以数列nc单调递增，C选项正确；对于D选项，当2n时，112212211nnnnSann，112Sa显然成立，故2nnSa恒成立，D选项正确.故选：ACD.12．（2021·广东高三其他模拟）已知数列na中，111131,3nnnnnnaaaaanaaN，且12121110aaaa，设2221222212111,nnnnSaaaTaaa，则下列结论正确的是（）A．12aB．数列na单调递增C．2591232nnnSTnD．若12nnST为偶数，则正整数n的最小值为8【答案】ABC【解析】利用111333nnnnnnnaaaaaaa求得1nnaa是公比为3的等比数列，利用12121110aaaa求得1a的值