【新高考复习】专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材

专题8.5直线、平面垂直的判定及性质新课程考试要求1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.掌握公理、判定定理和性质定理.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明.（2）利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.（3）本节是高考的必考内容．预测2020年高考将以直线、平面垂直的判定及其性质为重点，涉及线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用，题型为解答题中的一问，或与平行相结合进行命题的判断.以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．【知识清单】知识点1．直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a⊥αb⊥α⇒a∥b知识点2．平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.ABβAB⊥α⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α知识点3．线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点分类剖析】考点一：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.【答案】(1)13；(2)证明见解析.【解析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结AF，由题意可得：22415BFBCCF，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，1BBBCB，故AB平面11BCCB，而BF平面11BCCB，故ABBF，从而有22453AFABBF，从而229122ACAFCF，则222,ABBCACABBC，ABC为等腰直角三角形，111221222BCEABCSs△△，11111333FEBCBCEVSCF△.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCMABCM，如图所示，取棱,AMBC的中点,HG，连结11,,AHHGGB，正方形11BCCB中，,GF为中点，则1BFBG，又111111,BFABABBGB，故BF平面11ABGH，而DE平面11ABGH，从而BFDE.【典例2】（2021·河北易县中学高一月考）在三棱锥PABC中，22PAPBPCAC，2BABC，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.（1）求证：PO⊥平面ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1414【解析】（1）利用勾股定理得出线线垂直，结合等边三角形的特点，再次利用勾股定理得出线线垂直，进而得出线面垂直；（2）根据线面垂直MN面POB，得出线和面的夹角MPN，从而得出线面角的正弦值.【详解】（1）由2,22BABCAC，有222BABCAC，从而有2ABC，BOAC且2BO又PAC△是边长等于22的等边三角形，,6POACPO.又22PB，从而有222,,2PBPOBOPOBPOBO.又,ACBOOPO平面ABC.（2）过点M作MNBO交BO于点N，连PN.由（1）知PO平面ABC，得MNPO，又,MNBOMN平面,POBMPN是直线PM与平面PBO所成的角.由（1）BOAC，从而N为线段BO的中点，112242MNOCAC，222(22)17PMPCMC，2142sin147MNMPNPM所以直线PM与平面PBO所成的角的正弦值为1414【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【变式探究】1．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，PD底面ABCD.（1）求证：AC平面PBD；（2）若2PD，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求点B到平面PAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）255.【解析】（1）证明出ACBD，ACPD，利用线面垂直判定定理可得出结论；（2）设ACBDO，则O为BC中点，连接PO，分析可知直线PB与平面ABCD所成的角为45PBD，求得BD的长，分析出ABD△为等边三角形，可计算出三棱锥PABC的体积，并计算出PAC△的面积，利用等体积法可计算出点B到平面PAC的距离.【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，故ACPD，又PDBDD，故AC平面PBD；（2）设ACBDO，则O为BC中点，连接PO，设B到平面PAC的距离为h，因为PD平面ABCD，所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是45PBD，因此2BDPD.又2ABAD，故ABD△为等边三角形，所以三角形ABC的面积为1sin12032ABCSABBC△o，故三棱锥PABC的体积12333PABCABCVSPD△.在直角三角形POD中，2PO，1OD，所以22215PO，AC平面PBD，PO平面PBD，则ACPO，则112351522PACSACPO△，所以三棱锥BPAC的体积111523153333BPACPACVShhh△，解得255h，所以，点B到平面PAC的距离为255.2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，2AB,060BAD，面PAD面ABCD,PAD为等边三角形，O为AD的中点．(1)求证：AD平面POB；(2)若E是PC的中点，求三棱锥PEDB的体积．【答案】（1）详见解析（2）12【解析】(1)证：因为O为等边PAD中边AD的中点，所以ADPO,又因为在菱形ABCD中，060BAD，所以ABD为等边三角形，O为AD的中点，所以ADBO,而POBOO=,所以AD平面POB.(2)解：由(1)知ADPO，面PAD面ABCD,所以PO底面ABCD，因为等边PAD的边长为2，所以3PO,易知BCD为边长为2的等边三角形，所以三棱锥PBCD的体积为：21323134PBCDV,因为E是PC的中点，所以1122PEDBPBCDVV，所以三棱锥PEDB的体积为12．考点二：平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）68.【解析】（1）连接,,OAOBOC，DQ为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，,OAOBOCPAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PAC≌PBC，90APCBPC，即,PBPCPAPC，,PAPBPPC平面,PABPC平面PAC，平面PAB平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3,3rlrl，2222ODlr，解得1,3rl，2sin603ACr，在等腰直角三角形APC中，2622APAC，在RtPAO中，2262142POAPOA，三棱锥PABC的体积为11236333248PABCABCVPOS△.【典例4】（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】（1）,MN分别为BC，11BC的中点，1//MNBB又11//AABB1//MNAA在等边ABC中，M为BC中点，则BCAM又侧面11BBCC为矩形，1BCBB1//MNBBMNBC由MNAMM，,MNAM平面1AAMNBC⊥平面1AAMN又11//BCBC，且11BC平面ABC，BC平面ABC，11//BC平面ABC又11BC平面11EBCF，且平面11EBCF平面ABCEF11//BCEF//EFBC又BC平面1AAMNEF平面1AAMNEF平面11EBCF平面11EBCF平面1AAMN（2）过M作PN垂线，交点为H，画出图形，如图//AO平面11EBCFAO平面1AAMN，平面1AAMN平面11EBCFNP//AONP又//NOAP6AONPO为111ABC△的中心.1111sin606sin60333ONAC故：3ONAP，则333AMAP，平面11EBCF平面1AAMN，平面11EBCF平面1AAMNNP，MH平面1AAMNMH平面11EBCF又在等边ABC中EFAPBCAM即36233APBCEFAM由（1）知，四边形11EBCF为梯形四边形11EBCF的面积为：111126=62422EBCFEFBCSNP四边形111113BEBCFEBCFVSh四边形，h为M到PN的距离23sin603MH，1243243V.【规律方法】1.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发