【新高考复习】考点16 二次函数与幂函数（原卷版）

考点16二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是减函数；在－b2a，＋∞上是增函数在－∞，－b2a上是增函数；在－b2a，＋∞上是减函数[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0，Δ0时恒有f(x)0；当a0，Δ0时，恒有f(x)0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()2、已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0,4a＋b＝0B．a0,4a＋b＝0C．a0,2a＋b＝0D．a0,2a＋b＝03、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为74，4，则m的取值范围为()A．(0，4]B.32，4C.32，3D.32，＋∞5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣∞，﹣4]6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x，都有22(2)0xaxa，则实数a的取值范围是▲．考向一幂函数的图像与性质1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2变式2、若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bcaD．bac方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考向二一元二次函数的解析式例2、（2）设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________(填序号)．（2）已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是______．（3）．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．变式1变式、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考向三根的分布问题例3、(2019苏州期末）、已知函数2()442()Rfxxaxaa．（1）若()fx的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；（2）方程()0fx在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．变式1、(2017苏锡常镇调研）已知函数2()442()Rfxxaxaa，若()fx有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a的取值范围．变式2、已知函数2()442()Rfxxaxaa，方程()0fx在(1,2)上有实根，求实数a的取值范围．变式3、(2019常州期末）若方程2210axx至少有一个正根，则实数a的取值范围是．方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。考向四一元二次函数的最值问题例4、已知函数y＝4x2－12x＋3．当x∈R时，值域为________；当x∈[2，3]时，值域为________；当x∈[－1，5]时，值域为________．2．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．3．求函数f(x)＝x2－2ax在区间[0，1]上的最小值．变式1、（2019年泰州中学期末试题）求二次函数2()(21)3(0)fxaxaxa在区间3,22上的最大值．变式2、函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值．方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括端点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获解．考向五一元二次函数的恒成立问题例5、已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．变式1、若14t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．变式2、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数2()23fxxxa，2()1gxx．若对任意103x，，总存在223x，，使得12()()fxgx≤成立，则实数a的值为▲．方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为：1122,xDxD，不等式成立.11221211221max2min,,()g(),()g()xDxDfxxxDxDfxx时，.(2)、“任意-存在”型这类问题的表现形式有二：1122,xDxD，等式成立.1122,xDxD，不等式成立.这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：1、1122121122,,()=g()()g()xDxDfxxfxDxD在上值域在上值域；1122121122,,()g()()g()xDxDfxxfxDxD在上最小值在上最小值；2、1122121122,,()g()()g()xDxDfxxfxDxD在上最大值在上最大值；3、“存在-存在”型这类问题的表现形式有二：1122,xDxD，等式成立.1122,xDxD，不等式成立.总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：1122121122,,()=g()()g()xDxDfxxfxDxD在上值域与在上值域的交集非空1122121122,,()g()()g()xDxDfxxfxDxD在上的最大值与在上的最大值1、（2020江苏7）已知()yfx是奇函数，当0x时，23()fxx，则(8)f的值是．2、(2016全国III)已知432a，254b，1325c，则A．bacB．abcC．bcaD．cab3、（2020浙江9）已知,abR且0ab，若20xaxbxab在0x上恒成立，则（）A．0aB．0aC．0bD．0b4、(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是()A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点5、(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22，若幂函数()fxx为奇函数，且在(0,)上递减，则=_____．6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．