【新高考复习】考点21 利用导数研究函数的单调性（解析版）

考点21利用导数研究函数的单调性【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】1.利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2.判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．3.已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．.1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝f′(x)的图像有可能是()第1题图ABCD【答案】A.【解析】由f(x)的图像可知：在(－∞，0)，f(x)单调递减，∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；在(0，＋∞)，f(x)单调递增，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0；故选A.2、函数f(x)＝－2lnx－x－3x的单调递增区间是()A.()0，＋∞B.()－3，1C.()1，＋∞D.()0，1【答案】D【解析】函数f(x)＝－2lnx－x－3x的定义域为()0，＋∞，且f′(x)＝－2x－1＋3x2＝－x2＋2x－3x2，解不等式f′(x)0，即x2＋2x－30，由于x0，解得0x1.因此，函数y＝f(x)的单调递增区间为()0，1.故选D.3、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是()第3题图A.(－∞，－2]B.12，＋∞C.[)－2，3D.98，＋∞【答案】D【解析】由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0，27＋6b＋c＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94.当x＞98时，y′＞0，∴y＝x2－94x－6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D.4、函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调递增区间为()A.0，1aB.1a，＋∞C.－∞，1aD．(－∞，a)【答案】A【解析】由f′(x)＝1x－a0，x0，得0x1a.∴f(x)的单调递增区间为0，1a.5、函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．【答案】(0,4)【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，得0x4，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4)．6、已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________；【答案13【解析】(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝13.7、(多填题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f(x)的单调递减区间为________.【答案】－3(0，2)【解析】由f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3，①又g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n为偶函数，∴2m＋6＝0，即m＝－3，②代入①式，得n＝0.所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).令f′(x)0，得0x2，则单调递减区间为(0，2).考向一求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－12x2－2x＋3；(2)g(x)＝x2－2lnx.【解析】(1)∵f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，定义域为R，∴当f′(x)0时，x∈－∞，－23∪(1，＋∞)；当f′(x)＜0时，x∈－23，1.∴函数的单调增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为－23，1.(2)g′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）（x－1）x，定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，解得：x＝1或x＝－1(舍去)，列表：x(0，1)1(1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)减极小值增∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)．变式1、（1）函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为____．（2）函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上的单调情况是____．（3）已知a0，函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2的单调递减区间是__．【解析】（1）由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1x11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)．（2）f′(x)＝1－cosx0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(3x－a)(x＋a)，令f′(x)0，得a3x－a，∴减区间为a3，－a.变式2、已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【解析】：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32(x0)，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞).变式3、已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f′(x)＝1x－lnx－kex(x0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－lnx－1ex(x0).设h(x)＝1x－lnx－1(x0)，则h′(x)＝－1x2－1x0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0x1时，h(x)0，所以f′(x)0；当x1时，h(x)0，所以f′(x)0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).方法总结：1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二给定区间求参数的范围例2、设函数32132afxxxbxc，曲线yfx在点0,0f处的切线方程为1y.(1)求,bc的值；(2)若0a，求函数fx的单调区间；(3)设函数2gxfxx，且gx在区间(2,1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【解析】：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f0＝1，f′0＝0，即c＝1，b＝0.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，a(x＋2x)max＝－22，当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数.若在245xafxxxaRefx上是单调递增函数，求的取值范围；【解析】在上是单调递增函数,在上，恒成立，即：设，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，，即.变式2、设函数219ln2fxxx在区间1,1aa上单调递减，则实数a的取值范围是____．【答案】：1a≤2【解析】：∵f(x)＝12x2－9lnx，∴f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.方法总结：1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2.辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三函数单调区间的讨论例3、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数．当时，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为.，因为，所以，①当，即时，,afx,xR240xafxxe42xaxe42xhxxeRx22xhxxe,1x0hxhx,1x1,x0hxhx1,xmax12hxhemax42xaxe2ae2,ae11lnfxxmxmRxx1mfxfx(0,)'21()1mmfxxx2221(1)[(1)]xmxmxxmxx1m10m011m12m由得或，由得，所以在，上是增函数，在上是减函数；②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减.变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性;【解析】(1)，当时，恒成立，在上单调递减，当时，由，解得，由于时，导函数单调递增，故，单调递减，单调递增.综上，当时在上单调递减;当时，在上单调递减，在上单调递增..变式2、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；【解析】（1）函数的定义域为,0fx1x1