【新高考复习】考点25 弧度制及任意角的三角函数（原卷版）

考点25弧度制及任意角的三角函数【命题解读】了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号【基础知识回顾】1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝__lr__，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__π180__rad；1rad＝__180π__度．④弧长公式：__l＝|α|r__．扇形面积公式：S扇形＝__12lr__＝__12|α|r2__．3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝yx()x≠0．(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度数_0__π6__π4__π3__π2__π__3π2_sinα_0__12__22__32__1__0__－1_cosα_1__32__22__12__0__－1__0_tanα_0__33__1__3__0_（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1、下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)2．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅3．若α是第四象限角，则π－α是第()象限角．A.一B.二C.三D.四4．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为()A.3π2B.3π4C.3π8D.3π165、关于角度，下列说法正确的是()A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B．钝角大于锐角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角考向一角的表示及象限角例1（1）集合αkπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()（2）若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角变式1、设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．变式2、若α是第三象限角，给出下列式子：①sinα＋cosα＜0；②tanα－sinα＜0；③tanαsinα＜0；④sin(cosα)＜0．其中成立的是________．(填序号)方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二扇形的有关运算例2、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式1、扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.变式2、已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考向三三角函数的定义及应用例3、已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．变式1、（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝____．（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα＝___．变式2、(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A.75B．65C.55D.355(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________.方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．考向四三角函数值的符号及判定例4、已知sinα＜0，tanα＞0．(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．变式1、(2020·江西九江一模)若sinx0，且sin(cosx)0，则角x是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角变式2、(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m0)，则下列各式的值一定为负的是()A．sinα＋cosαB．sinα－cosαC．sinαcosαD.sinαtanα方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一．表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况．(2)准确掌握三角函数在各象限的符号．1、在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M－cosπ8，sinπ8，且0α2π，则α＝()A.π8B.3π8C.5π8D.7π82、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A.－12B.－32C.12D.323、（2014新课标I，文2）若tan0，则A.sin20B．cos0C．sin0D．cos204、（2011全国课标理5文7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（A）45(B)35(C)35(D)455、（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)Aa，(2,)Bb，且2cos23，则||(ab)A．15B．55C．255D．16、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．7、（2018浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P．(1)求sin()的值；(2)若角满足5sin()13，求cos的值．