【新高考复习】考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）

考点26同角三角函数的基本关系及诱导公式【命题解读】理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(kZ)，－α，π±α，π2±α]．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明【基础知识回顾】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋αsinα－sinα－sinαsin_αcos_αcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sin_αtanαtanα－tanα－tan_α3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cosC2；cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.1、是第三象限角，且3sin-2，则tan（）A．-3B．3C．3-3D．33【答案】B【解析】因为是第三象限角，且3sin-2，所以1cos2，所以sintan3cos，故选B。2、已知sin22sin3cos5，则tan（）A．6B．6C．23D．23【答案】B【解析】化简sinsin22sin3cos2sin3cos235tantan所以t6an，故选B。3、sin600°＋tan240°的值为（）A.332B.32C.32D.332【答案】：C【解析】：sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－32＋3＝32．4、已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于()A.513B.1213C．－513D．－1213【答案】：B【解析】：因为sinα＋π3＝1213，所以cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1213.5、化简：tan(π－α)cos(2π－α)sin－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为（）A.2B.1C.1D.2【答案】：B【解析】：原式＝－tanα·cosα·(－cosα)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1．6、sin4π3·cos5π6·tan－4π3的值为（）A.334B.34C.34D.334【答案】：A【解析】：原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.考向一三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(α＋π)tan(－α－π)·sin(－α－π)．(1)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．【解析】：f(α)＝sinα·cosα·tanα(－tanα)·sinα＝－cosα．(1)∵cosα－3π2＝－sinα＝15，∴sinα＝－15．∵α是第三象限的角，∴cosα＝－1－－152＝－265．∴f(α)＝－cosα＝256．(2)f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12．变式1、角的终边在直线2yx上，则sincossincos（）A．13B．1C．3D．1【答案】C【解析】因为角的终边在直线2yx上，tan2，则sincossinsincossincoscsosincostan13sincostan1，故选C。变式2、已知sin(3π＋θ)＝13，则cos()π＋θcosθ[cos（π－θ）－1]＋cos()θ－2πsinθ－3π2cos()θ－π－sin3π2＋θ＝____．【答案】18【解析】∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝13，∴sinθ＝－13，∴原式＝－cosθcosθ()－cosθ－1＋cos()2π－θ－sin3π2－θcos()π－θ＋cosθ＝11＋cosθ＋cosθ－cos2θ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝2－132＝18.变式3、已知f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0且1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.【答案】3【解析】∵f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二同角函数关系式的运用例2(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为___．(2)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为____．【答案】（1）－105.（2）32.【解析】(1)由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cosα＜0，∴cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.变式1、若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα＝___．【答案】103.【解析】(1)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－13，1cos2α＋2sinαcosα＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝1＋1321－23＝103.变式2、(1)若tan(α－π)＝12，则sin2α＋1cos2α－sin2α＝()A.－12B.－2C.12D.2(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A.－43B.54C.－34D.45【答案】(1)D(2)D【解析】(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tanα＝12，sin2α＋1cos2α－sin2α＝2sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝2tan2α＋11－tan2α＝2×122＋11－122＝2.（2）sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1，又tanθ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=13，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)0，所以sin(75°+α)=2221cos(75)3．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=1223．变式1、已知sin(3πα)=2cos3π()2，3cos(α)=2cos(π+β)，0απ，0βπ，求α，β的值．【解析】：由已知等式可得sinα=2sinβ，①3cosα=2cosβ．②两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sinα=±．又因为0απ，所以sinα=，α=或．当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=，又0βπ，所以β=;132222434412326当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=-，又0βπ，所以β=5π6．故π4π6或3π45π6．方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、（2016新课标卷3，理5）若，则(A)(B)(C)1(D)【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A．2、（2016全国课标卷3，文6）若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D3、(2012江西)若，则tan2α=（）A．−B．C．−D．3412323tan42cos2sin26425482516253tan434sin,cos5534sin,cos552161264cos2sin24252525tan13cos245151545sincos1sincos234344343【答案】B【解析】分子分母同除cos得：sincostan11,sincostan12∴tan3，∴22tan3tan21tan44、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．【解析】由已知得sinA＝2sinB，①，3cosA＝2cosB，②①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.又A、B是三角形的内角，∴A＝34π，B＝56π，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.5、已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．