【新高考复习】考点29 三角函数的图象与性质（解析版）

考点29三角函数的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.【基础知识回顾】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周周期是2kπ(k∈Z且周期是2kπ(k∈Z周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正期性k≠0)，最小正周期是2π且k≠0)，最小正周期是2π周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是kπ2，0(k∈Z)1、函数2tan23yx的定义域为（）A．|12xxB．|12xxC．|,12xxkkZD．|,212kxxkZ【答案】D【解析】因为2,32xkkZ，所以,212kxkZ故函数的定义域为|,212kxxkZ，选D。2、下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数【答案】B【解析】函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上单调递减，在－π2，π2上单调递增．故选B.3、（安徽省淮南市2019届高三模拟）若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()A.23B.32C．2D．3【答案】B【解析】因为f(x)＝sinωx(ω0)过原点，所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32。4、下列关于函数tan()3yx的说法正确的是()A．在区间5(,)66上单调递增B．最小正周期是C．图象关于(,0)4成中心对称D．图象关于直线6x成轴对称【答案】AB．【解析】令232kxk，解得566kxk，kZ，显然5(,)66满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为，故B正确；令32kx，解得23kx，kZ，任取k值不能得到4x，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数tan()3yx的图象也没有对称轴，故D错误．5、函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为______________．【答案】：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)【解析】：由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．6、函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是________________．【答案】：kπ2－π8，0，k∈Z【解析】：由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8(k∈Z)．∴函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是kπ2－π8，0，k∈Z．考向一三角函数的定义域例1(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为(2)函数y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定义域为．【答案】（1）x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z．（2）π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)【解析】(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[]0，2π内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)由题意得1－2cosx≥0，2sinx－1＞0，根据图象解得π3＋2kπ≤x＜5π6＋2kπ，即定义域为π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)．变式1、(1)函数y＝1tanx－1的定义域为________.(2)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________.【答案】（(1)x|x≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z(2)x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z【解析】(1)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为x|x≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)函数有意义，则sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ（k∈Z），－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ（k∈Z），所以2kπx≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.变式2、函数y＝sinx－cosx的定义域为________．【答案】x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z【解析】法一：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.法二：sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.方法总结：三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解．考向二三角函数的值域(最值)例2、（1）[2017·全国Ⅱ高考]函数f()x＝sin2x＋3cosx－34(x∈0，π2)的最大值是____．(2)函数y＝sinx－2sinx－1的值域为___．(3)函数f(x)＝cos2x＋6cos(π2－x)的最大值为____．【答案】（1）1；（2）[32，＋∞)．（3）5【解析】（1）f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，由自变量的范围：x∈0，π2可得：cosx∈[0，1]，当cosx＝32时，函数f(x)取得最大值1.(2)∵y＝sinx－2sinx－1＝1－1sinx－1，∴当sinx＝－1时，ymin＝1＋12＝32，∴值域为[32，＋∞)．(3)∵f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，∴当sinx＝1时函数的最大值为5.变式1、(1)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为________．(2)设x∈0，π2，则函数y＝sin2x2sin2x＋1的最大值为________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为___________________________________．【答案】(1)－32，3(2)33(3)－12－2，1【解析】(1)当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，∴sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，∴函数f(x)在区间0，π2上的值域为－32，3.(2)因为x∈0，π2，所以tanx＞0，y＝sin2x2sin2x＋1＝2sinx·cosx3sin2x＋cos2x＝2tanx3tan2x＋1＝23tanx＋1tanx≤223＝33，当且仅当3tanx＝1tanx时等号成立，故最大值为33.(3)设t＝sinx－cosx，则－2≤t≤2，t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，则sinxcosx＝1－t22，∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.变式2、函数2πcossin(||)4yxxx≤的最大值为________，最小值为________．【答案】541－22【解析】：(1)由2sin2090xx≥，得πππ,233kxkkxZ≤≤.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2．∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，π2∪0，π2．(2)令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22．∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22．∴函数2πcossin(||)4yxxx≤的最大值为54，最小值为1－22．方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)考向三三角函数的单调性例3、写出下列函数的单调区间：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|．【解析】：(1)y＝sin－2x＋π3＝－sin2x－π3，它的递增区间是y＝sin2x－π3的递减区间，它的递减区间是y＝sin2x－π3的递增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x