【新高考复习】专题5.4 三角恒等变换 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）

专题5.4三角恒等变换新课程考试要求1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析等.高考预测（1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题（2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.【知识清单】知识点1．两角和与差的三角函数公式（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.（2）变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；)4sin(2cossin.（3）辅助角公式一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)其中tanφ＝ab.知识点2．二倍角公式（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.（2）变形公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α21＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2【考点分类剖析】考点一两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例1】（2021·全国高三其他模拟）已知点512,1313P，O为坐标原点，线段OP绕原点O逆时针旋转3，到达线段1OP，则点1P的坐标为（）A．5123261253,26B．523955,C．52539,5D．1253265123,26【答案】D【解析】根据三角函数的定义确定出终边经过点P的的三角函数值，然后根据位置关系判断出3的终边经过1P，结合两角和的正、余公式求解出1P的坐标.【详解】由P的坐标可知P在单位圆上，设的终边经过点P，所以512cos,sin1313，又因为1OP由OP绕原点O逆时针旋转3得到，所以3的终边经过点1P且1P也在单位圆上，所以1cos,sin33P，又因为135123131253coscossin,sinsincos3222632226，所以151231253,2626P，故选：D.【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为31(,)22，将的终边绕原点顺时针旋转34，得到角，则cos()（）A．624B．624C．314D．0【答案】A【解析】由角的终边经过点31(,)22，得13sin,cos22，因为角的终边是由角的终边顺时针旋转34得到的，所以333123226sinsin()sincoscossin()44422224333321226coscos()coscossinsin()4442222432612662cos()coscossinsin24244，故选：A.【典例3】【多选题】（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+512）﹣cos（ωx+512）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A．6B．3C．43D．73【答案】BC【解析】因为5()2sin()2sin()1246fxxx，由62xk，kZ，因为06，所以xk3，kZ，由题意可得13k，kZ，得3k，kZ，因为06，所以3或43.故选：BC.【规律方法】1.三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．【变式探究】1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为34,55A，(1,0)C.若6BOC，则cos的值是()A．34310B．34310C．4-3310D．43310【答案】C【解析】依题意，有：3cos5，4sin5=，cos32，1sin2，cos＝3314433coscossinsin252510.故答案为：C.2.（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知为锐角，且3cos()65，则sin（）A．43310B．43310C．33410D．33410【答案】B【解析】∵cos（α6）35（α为锐角），∴α6为锐角，∴sin（α6）45，∴sinα＝sin[（α6）6]＝sin（α6）cos6cos（α6）sin64331433525210，故选B．3.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy中，点00,Pxy是单位圆在第一象限内的点，xOP，若11cos313，则00yx为_____．【答案】153126【解析】由题意知：0,2，5,336，由11cos313，得43sin313，0sinsinsincoscossin333333y431113153132132260coscoscoscossinsin333333x1114331132132260015311531262626xy，故答案为：153126.【总结提升】(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．高频考点二两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，tan2，25cos5，则tan(2)（）A．13B．13C．211D．811【答案】C【解析】由已知求出tan2，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以25cos5.所以5sin5，1tan2，又22tan14tan211tan314，则42tantan223tan(2)81tantan21113.故选：C.【典例5】（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知,为锐角，11tan,tan63122，则tan2（）A．913-B．139-C．139D．913【答案】A【解析】由正切的二倍角公式求得tan26，再由tan2tan266a可求.【详解】因为22tan1412tan2tan21612311tan412，所以tan2tan266a14tantan296633141311tantan23366.故选：A.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋π2(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【变式探究】1.（2018年全国卷II文）已知tan(𝛼−5𝜋4)=15，则tan𝛼=__________．【答案】32.【解析】tan(𝛼−5𝜋4)=tan𝛼−tan5𝜋41+tan𝛼⋅tan5𝜋4=tan𝛼−11+tan𝛼=15，解方程得tan𝛼=32.2.（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距080的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即tanlh.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记1，2)，则12tan___________.【答案】17【解析】根据题意得到1tan2，2tan3，结合两角差的正切公式，即可求解.【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得1tan2，2tan3，所以121212tantan231tan1tantan1237.故答案为：17.【总结提升】1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝π4＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tan