【新高考复习】专题6.1 平面向量的概念及其运算 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高

专题6.1平面向量的概念及其运算新课程考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2.向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；（2）考查单位向量较多.（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【知识清单】知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：abba＋＝＋；(2)结合律：(+()abcabc＋)+＝＋平行四边形法则减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①aa＝；②()aaa＋＝＋；③()abab＋＝＋.知识点3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.知识点4．两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点5．平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．知识点6．数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知识点7．向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，||=aaa.4．cosθ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.【考点分类剖析】考点一向量的有关概念【典例1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若||||ab，则ab；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若ab,bc，则ac；④ab的充要条件是||||ab且//ab.其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②C．③④D．②④【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（）A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【易错提醒】1．有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式探究】1.（2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（）A．若abrr，则abB．若ABDC，则ABCD是平行四边形C．若//abrr，//bc，则//acD．若ab，bc，则ac2.设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【总结提升】(1)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量，－a|a|是与a反方向的单位向量．(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．（4）几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．考点二平面向量的线性运算【典例3】（2020·海南高考真题）在ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）A．2CDCAB．2CDCAC．2CDCAD．2CDCA【典例4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形ABCD中，若4CEED，则BE（）A．34ABADB．45ABADC．45ABADD．45ABAD【规律方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式探究】1.（2018年新课标I卷理）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，则𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（）A．34𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑B．14𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−34𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑C．34𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑D．14𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+34𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑2.（2019·广东高考模拟（理））已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230OAOBOC，则（）A．123OAABACB．123OAABACC．123OAABACD．123OAABAC【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．考点三利用向量线性运算求参数【典例5】（2020·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中（文））设1e，2e是两个不共线的向量，若向量12meke(k∈R)与向量212nee共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝12【典例6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，3BPCP，AP与CD交于点E，若PEmPCnPD，则mn=.【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【变式探究】1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AEABAC，则的值为（）A．12B．12C．1D．12.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量,ab不共线,若(1)()0xyaxyb,则x________,y________.考点四共线向量及其应用【典例7】（2020·全国高一课时练习）设1e，2e是平面内不共线的向量，已知122ABeke，123CBee，122CDee，若A，B，D三点共线，则k____.【典例8】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP→＝xOA→＋yOB→，求x＋y的值．【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．【变式探究】1.（2020·全国高二课时练习）若5a，b与a的方向相反，且7b，则a＝________b.2.（2020·上海高三专题练习）设,ab是不共线的两个向量,已知2ABakb，BCab，2CDab若A、B、D三点共线,求k的值.【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．考点五平面向量数量积的运算【典例9】（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A．()2,6B．(6,2)C．(2,4)D．(4,6)【典例10】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知𝑂𝑀=1.𝑂𝑁=2,∠𝑀𝑂𝑁=120∘,𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑀𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑,𝐶𝑁⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑁𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑,则𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑·𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑的值为A．−15B．−9C．−6D．0【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知向量a，b满足|a| =1，a⋅b=−1，则a⋅(2a−b)=（）A．4B．3C．2D．02.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形ABCD中，2AB，点M，N分别是边AD，BC的中点，且32MN，若32MNADBC，则ABCD______.【总结提升】②知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点六平面向量的夹角问题【典例11】（2020·全国高考真题（理））已知向量aba，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．1935【典例12】（2019·全国高考真题（理））已知,ab为单位向量，且ab=0，若25cab，则cos,ac___________.【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋